Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

2x = 0 и tg 2x не существует, так как только в этих точках может произойти перемена знака.

Эти радиусы нанесены на рис. P.14.5, а и б, причем на первом горизонтальной штриховкой заштрихованы те секторы, где tg 2x < 0, а на втором — остальные секторы круга. Остается в первом случае выбрать секторы, в которых cos x ? 0, а во втором — в которых cos x ? 0.

Нанесем решения данного неравенства на общий чертеж (рис. P.14.5, в), после чего можно записать ответ.

Способ 2. Воспользуемся формулой тангенса двойного угла и перепишем неравенство в виде

Формула, которую мы применили, является неабсолютным тождеством, так как в результате ее использования из области определения левой части неравенства исчезают значения x, при которых cos x = 0. Непосредственной подстановкой в исходное неравенство убеждаемся, что x = ^?/₂ + k? — его корни. Отметив соответствующие радиусы на чертеже (рис. P.14.5, г), можем считать, что cos x ? 0, и решать неравенство

Когда sin x ? 0, то получим tg x < ?1, tg x > 1 (рис. P.14.5, д), а когда sin x ? 0, то ?1 < tg x < 1 (рис. P.14.5, e). Объединяя все решения на одном чертеже (не забывайте про рис. P.14,5, г), запишем окончательный ответ (см. рис. P.14.5, в).

Ответ. ^?/₄ + 2n? < x < ^3?/₄ + 2n?; ? + 2n? ? x < ^5?/₄ + 2n?; ^7?/₄ + 2n? < x ? 2(n + 1)?; x = (4n ? 1)^?/₂.

14.6. Выразим все тригонометрические функции через cos x = y. Получим неравенство

2y? + 13y + 5 ? |2y? ? 3y + 1|.

Оно равносильно совокупности систем

или

Так как y = cos x, то ?1 ? y ? 1. Учитывая это ограничение, получим

?? ? y ? ?, y = 1, ? < y < 1,

т. е.

cos x ? ??.

Ответ. ?(2k ? 1) + arccos ? ? x ? ?(2k + 1) ? arccos ?.

14.7. Если cos x = 0, то sin? x = 1 и неравенство не удовлетворяется.

Поделим обе части неравенства на cos? x и обозначим tg x = y. Получим алгебраическое неравенство

v2 y? ? 2y + 2 ? v2 < 0.

Разделив на v2, получим неравенство

y? ? v2 y + v2 ? 1 < 0,

откуда

v2 ? 1 < tg x < 1.

Из интервалов, в которых лежит x:

arctg (v2 ? 1) + n? < x < ^?/₄ + n?,

выбираем решения, лежащие в (0, 2?).

Ответ. arctg (v2 ? 1) < x < ^?/₄; ? + acrtg (v2 ? 1) < x < ^5?/₄.

14.8. Дискриминант трехчлена равен

(2 cos ? ? 1)? ? 4 cos? ? + 10 cos ? ? 4 = 6 cos ? ? 3.

Чтобы уравнение имело различные действительные корни, нужно потребовать

6 cos ? ? 3 > 0; т. е. cos ? > ?,

откуда 0 ? ? < ^?/₃ (в условии сказано, что 0 ? ? ? ?).

Свободный член сравним с нулем:

2cos? ? ? 5cos ? + 2 ? 0.

Так как корнями трехчлена 2y? ? 5у + 2 будут числа ? и 2, то свободный член будет положителен при cos ? < ? и отрицателен при cos ? > ?. Мы уже выяснили, что должно иметь место второе неравенство; таким образом, исходное уравнение имеет корни разных знаков.

Поскольку x₁ + x₂ = 2cos ? ? 1, что при cos ? > ? больше нуля, то положительный корень имеет большую абсолютную величину.

Ответ. Данное уравнение имеет два различных действительных корня при 0 ? ? < ^?/₃. Эти корни имеют разные знаки, причем положительный корень больше по абсолютной величине.

14.9. Если sin x ? 0 и cos x ? 0, то данное неравенство равносильно такому:

Так как при sin x ? 0 и cos x ? 0 имеем

sin x + cos x ? 1,

а при sin x > 0 и cos x > 0 это неравенство становится строгим, то отсюда следует, что неравенство (1) равносильно системе

Ответ. 2n? < x < ^?/₂ + 2n?.

14.10. Данное неравенство означает, что

 ^?/₄ + k? ? ¹/_{1 + x?} <  ^?/₂ + k?.

Если k > 0, то левое неравенство не имеет решений, поскольку ¹/_{1 + x?}  не превосходит единицы. Если k < 0, то не имеет решений правое неравенство, так как ¹/_{1 + x?}  — величина, положительная при всех x. Остается случай k = 0. При k = 0 правое неравенство удовлетворяется всегда. Решим левое неравенство.