и а ? 3?/4 + ?n, то получаем систему, которой должны удовлетворять а и b:
tg а = b, tg (а ? ?/4) = b ? 1/2.
Заменив во втором уравнении b на tg а, перепишем его в виде
откуда tg а = 1. Таким образом, b = 1, а = ?/4 + n?. Проверим, будет ли при этих значениях а и b равенство, написанное в начале решения, неабсолютным тождеством. После подстановки получим
tg x + tg (?/4 + n? ? x) + tg x tg (?/4 + n? ? x) = 1
или
т. е. равенство
являющееся неабсолютным тождеством.
Остается рассмотреть исключенные значения параметра а. Если а = (2n + 1)?/2, то приходим к равенству tg x + ctg x = b ? 1, являющемуся неабсолютным тождеством. Когда а = 3?/4 + ?n, то tg а = ?1 и, следовательно, b = tg а = ?1. При этом исходное равенство принимает вид
tg x + ctg (x ? ?/4) + tg x ctg (x ? ?/4) = ?1.
Оно является неабсолютным тождеством, так как при ?/4 < x < ?/2 функции tg x и ctg (x ? ?/4) положительны, а потому левая часть равенства не может быть равна ?1.
Ответ. а = ?/4 + n?, b = 1.
13.43. Оценим левую часть уравнения:
С увеличением cos? 2x это выражение растет. Поэтому оно будет достигать своего минимума, когда cos? 2x = 0. Таким образом, левая часть уравнения не может стать меньше 12,5.
Поскольку правая часть не может превзойти 12,5, то получаем систему
Ответ. 
13.44. Представив данное уравнение в виде
sin 2x ? sin x cos 2x = 3/2,
оценим левую часть. Чтобы оценить выражение
A sin 2x + В cos 2x,
его нормируют, т. е. представляют в виде
Выражение, стоящее в скобках, можно записать как sin (2x + ?), т. е. оно не превосходит по абсолютной величине единицу. В нашем случае A = 1, В = ?sin x. Поэтому
Так как левая часть рассматриваемого уравнения не превосходит v2, а правая часть равна 2, что больше v2, то данное уравнение не имеет корней.
Ответ. Нет решений.
13.45. Раскроем скобки и произведем перегруппировку членов:
(sin x cos x/4 + cos x sin x/4) ? (2 sin? x + 2 cos? x) + cos x = 0,
т. е.
sin 5x/4 + cos x = 2.
Так как sin 5x/4 ? 1 и cos x ? 1, то последнее уравнение равносильно системе
Решения второго уравнения x = 2?k подставим в первое уравнение. Выражение sin 5?x/2 перепишем в виде sin (2?k + 5?x/2) = sin ?k/2, откуда следует, что sin 5x/4 = 1 лишь при k = 4n + 1.
Ответ. x = 2?(4n + 1).
13.46. Введем новое неизвестное
Получим квадратное уравнение относительно y:
корни которого
Обозначим 
и подставим в (6) вместо y его выражение (5) через x. Получим следствие исходного уравнения
т. е.
±z? + 4z ? 5 = 0. (7)
Решая каждое из квадратных уравнений (7), найдем два действительных корня: z1 = ?5, z2 = 1. Из них подходит только 2 = 1. Следовательно,
cos (x ? ?/4) = 1, откуда x = ?/4 + 2n?.
Остается сделать проверку, которая осуществляется непосредственной подстановкой в исходное уравнение.
Ответ. x = ?/4 + 2n?.
13.47. Система уравнений может быть переписана так:
Если cos x = 0, то x = (2k + 1)?/2 и, следовательно, cos 7x = 0. Поэтому первое уравнение равносильно уравнению cos 7 x = 0, т. е.
2 cos? 7x/2 = 1 и cos?
