sin (x ? y) = 2a + cos (x + y) = ? ? 2a? = 1 ? 4a?/2.
Прежде чем решать систему
выясним, при каких а она имеет решение.
Первоначальная система накладывает на параметр а такие ограничения: | а| ? 1, | а + ?| ? 1, где первое — следствие того, что в левой части первого уравнения стоит произведение синуса и косинуса, а второе — следствие определения арксинуса.
Поскольку при преобразованиях исходной системы равносильность не нарушалась, то нет необходимости учитывать первоначальные ограничения, так как они будут содержаться в ограничениях системы (4):
Итак, если параметр а лежит на интервале ?v3/2 ? а ? ?, то систему (4) можно переписать в виде
Решая эту систему, найдем x и y. Остается сделать проверку.
Ответ. При ?v3/2 ? а ? ?
13.39. Обозначим tg? x = u, tg? y = v. Тогда в левой части уравнения получим u? + v? + 2/uv. Это выражение не может стать меньше, чем 2uv + 2/uv, так как u? + v? ? 2uv. Выражение 2uv + 2/uv тоже легко оценить:
2[uv + 1/uv] ? 4,
причем равенство в первом и во втором случаях достигается лишь при u = v = 1.
Таким образом, сумма, стоящая в левой части равенства, не может стать меньше 4, в то время как правая часть этого равенства не может превзойти 4. Остается единственная возможность: обе части равенства одновременно равны 4. Получаем систему
Второму уравнению удовлетворяют значения x = ±?/4 + k?, y = ±?/4 + n?, где знаки берутся в произвольных сочетаниях. Однако первое уравнение будет удовлетворяться только в том случае, когда в выражениях для x и y взяты одинаковые знаки.
Ответ. 
13.40. Способ 1. Умножив sin? x на sin? 3x + cos? 3x = 1 и сгруппировав члены, содержащие sin? 3x, получим
sin? x cos? 3x + sin? 3x(sin? x ? sin x + ?) = 0,
или
sin? x cos? 3x + sin? 3x(sin x ? ?)? = 0.
Последнее уравнение эквивалентно системе
Корни первого уравнения найти нетрудно:
x1 — n?, x2 = ?/6 + n?/3.
Подставляя x1 во второе уравнение, убеждаемся, что оно удовлетворяется при этих значениях неизвестного. Подставляя во второе уравнение x2, получим
sin (?/2 + n?) [sin (?/6 + n?/3) ? ?] = 0.
Так как первый сомножитель никогда не обращается в нуль, то последнее равенство можно записать так:
sin (?/6 + n?/3) = sin ?/6.
Воспользовавшись условием равенства синусов (если sin ? = sin ?, то либо ? ? ? = 2k?, либо ? + ? = (2k + 1)?), получим
?/3 + n?/3 = (2k + 1)?, откуда n = 6k + 2,
и
n?/3 = 2k?, откуда n = 6k.
Таким образом,
x1 = n?, x2 = ?/6 + 2k?, x3 = 5?/6 + 2k?.
Способ 2. Перепишем уравнение в виде
4 sin? x ? 4 sin x sin? 3x + sin? 3x = 0,
т. е.
(2 sin x ? sin? 3x)? + (sin? 3x ? sin4 3x) = 0.
Так как оба слагаемых неотрицательны, то
Из второго уравнения получим: либо sin 3x = 0 и x = n?/3, либо |sin 3x| = 1 и x = ?/6 + n?/3. Остается отобрать из этих решений те, которые удовлетворяют первому уравнению, что делается так же, как и в первом способе решения.
Способ 3. Рассмотрим данное уравнение как квадратное относительно sin x. Тогда
Чтобы уравнение имело действительные решения, необходимо и достаточно потребовать неотрицательности дискриминанта
sin? 3x (sin? 3x ? 1) ? 0.
Выражение в скобках не может стать положительным. Следовательно, остается лишь две
