возможности: либо sin? 3x = 0, либо sin? 3x = 1. Если sin? 3x = 0, то, подставляя в первоначальное уравнение, получим sin? x = 0, т. е. x = ?k. Если sin? 3x = 1, то придем к квадратному уравнению
sin? x ? sin x + ? = 0, откуда sin x = ?.
Ответ. n?; ?/6 + 2k?; 5?/6 + 2k?.
13.41. Способ 1. Преобразовав данное уравнение к функциям от x + y/2 и x ? y/2 и дополнив полученное таким образом выражение до полного квадрата, придем к уравнению вида
(2 cos x + y/2 ? cos x ? y/2)? + sin? x ? y/2 = 0.
Это уравнение эквивалентно системе
Решая второе уравнение системы, найдем
x ? y/2 = n?,
откуда x ? y = 2n?, а x = y + 2n?.
Подставляя найденное выражение для x в первое уравнение, получим
2 cos (y + n?) ? cos n? = 0.
Число n может быть либо четным, либо нечетным. Если n = 2k, то уравнение примет вид 2 cos y ? 1 = 0, откуда cos y = ?.
При n = 2k + 1 получим ?2 cos y + 1 = 0, откуда снова cos y = ?. Таким образом,
y = 2?m ± ?/3, а x = y + 2n? = 2? (n + m) ± ?/3.
В этом случае n + m можно рассматривать как новое целочисленное переменное и записать ответ следующим образом:
Способ 2. Преобразовав уравнение к виду A cos y + В sin y = 3/2 ? cos x, где A = 1 ? cos x, В = sin x (причем A и В не равны нулю одновременно), оценим его левую часть
Чтобы данное уравнение имело решение, необходимо, чтобы
(1 ? cos x)? + sin? x ? (3/2 ? cos x)?
или
cos? x ? cos x + ? ? 0, т. е. (cos x ? ?) ? 0.
Так как квадрат некоторого выражения не может быть отрицательным, то cos x = ?, откуда
x = 2n? ± ?/3.
Чтобы найти y, можно подставить найденные значения x в исходное уравнение. Однако достаточно заметить, что исходное уравнение симметрично относительно x и y. Следовательно, для второго неизвестного мы тоже получим
y = 2m? ± ?/3.
Остается установить соответствие между найденными значениями x и y, что легко сделать проверкой, так как здесь нужно рассмотреть всего четыре различные возможности. Убеждаемся, что из четырех возможностей уравнению удовлетворяют только две, когда для x и y выбраны одинаковые знаки.
Ответ. x = 2n? ± ?/3, y = 2m? ± ?/3; где берутся либо только верхние, либо только нижние знаки.
13.42. Способ 1. Задача сводится к отысканию таких а и b, при которых равенство
tg x + tg (а ? x) + tg x tg (а ? x) = b является неабсолютным тождеством. Обозначив tg x = z и tg а = с (в предположении, что а ? ?/2 (2n + 1)), получим
Перенеся все в левую часть и приведя к общему знаменателю, получим
Это уравнение относительно z является неабсолютным тождеством тогда и только тогда, когда многочлен, стоящий в числителе, обращается в нуль при всех z, кроме, быть может, одного значения z, обращающего в нуль знаменатель левой части, что равносильно тождественному равенству нулю этого многочлена. Так как условием тождественного равенства многочлена нулю является равенство нулю всех его коэффициентов, то получим с = 1, b = 1, т. е. b = 1, а = ?/4 + k?. Случай а = (2n + 1)?/2 приводит к равенству tg x + ctg x = b ? 1, которое является неабсолютным тождеством.
Способ 2. Равенство
tg x + tg (а ? x) + tg x tg (а ? x) = b
должно удовлетворяться тождественно по отношению к x. Положив x = 0, получим, что либо tg а = b, либо tg а не существует, т. е. а = (2n + 1)?/2. Аналогично для x = ?/4 получим, что либо tg (а ? ?/4) = b ? 1/2, либо а ? ?/4 = ?/2 + ?n, т. е. а = 3?/4 + ?n.
Итак, если а ? (2n + 1)?/2
