Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ответ. 5(12m + 1)^?/₆; 5 (12m + 5)^?/₆.

13.49. Обе части уравнения существуют, если cos x ? 0, sin 2x ? 0, cos 2x ? 0.

Все эти ограничения равносильны условию sin 4x ? 0, поскольку

sin 4x = 2 sin 2x cos 2x = 4 sin x cos x cos 2x.

Если sin 4x ? 0, то все последующие преобразования правомерны. Преобразуем левую часть, воспользовавшись соотношениями:

tg? x + 1 = ¹/_{cos? x}, cos 3x + cos x = 2 cos 2x cos x.

Тогда

Так как cos 2x ? 0, cos x ? 0, то

4 cos? x ? 1 = ^{cos 3x}/_{sin x}.

Поскольку 2 cos? x = 1 + cos 2x и sin x ? 0, получим

2 cos 2x sin x + sin x = cos 3x,

или

sin 3x ? sin x + sin x = cos 3x,

т. е. tg 3x = 1, откуда 3x = ^?/₄ + ?k = ^?/₄ (4k + 1), k = 0, ±1, ±2, или x = ^?/₁₂(4k + 1).

Теперь нужно позаботиться о соблюдении ограничения sin 4x ? 0, т. е. 4x ? ?n, x ? ^?n/₄.

Равенство

^?/₁₂(4k + 1) = ^?n/₄, или ^?/₃ (4k + 1) = ?n,   (8)

может иметь место, когда 4k + 1 делится на 3. Поэтому рассмотрим три случая: k = 3m, k = 3m + 1, k = 3m ? 1. Тогда для 4k + 1 получим

4(3m) + 1 = 12m + 1,

4(3m + 1) + 1 = 12m + 5,

4(3m ? 1) + 1 = 12m ? 3 = 3 (4m ? 1).

Последний из вариантов должен быть исключен, так как именно в этом случае равенство (8) имеет место.

Ответ. ^?/₁₂(12m + 1); ^?/₁₂(12m + 5).

13.50. Представим уравнение в виде

2(tg x + ctg 2x) + (tg ^x/₂ + ctg 2x) + (ctg 2x ? ctg 3x) = 0.

Преобразуем

(Сокращение на cos x возможно, так как ограничение cos x ? 0 остается благодаря наличию множителя cos x в знаменателе sin 2x.)

Аналогично

(Во второй дроби sin x ? общий множитель числителя и знаменателя. Однако сокращать на него не следует, хотя это и возможно).

Таким образом, уравнение примет вид:

После сложения дробей в скобках получим числитель, который, шаг за шагом, преобразуем:

Итак, данное уравнение преобразовано к равносильному ему:

Нужно найти корни числителя, при которых знаменатель не обращается в нуль. Сомножитель cos x ? 0, так как в знаменателе есть sin 2x = 2 sin x cos x. Второй сомножитель тоже не равен нулю, так как входит множителем и в числитель, и в знаменатель. Остается sin ^5x/₂ = 0, что имеет место при ^5x/₂ = ?k, т. е. при x = ^2?k/₅, где k = 0, ±1, ±2.

Отсеим из этого множества чисел значения, при которых знаменатель обращается в нуль. Это будет, когда k делится на 5, т. е. k = 5n.

При остальных k, т. е. при k = 5n ± 1 и k = 5n ± 2 знаменатель в нуль не обращается.

Ответ. 2?^{(5n ± 1)}/₅, 2? ^{(5n ± 2)}/₅.

13.51. Ограничения sin t ? 0 и cos t ? 0 объединяет условие sin 2t ? 0. Учтем, что

sin 3t ? sin t = 2 sin t cos 2t,    ctg? t + 1 = ¹/_{sin? t}.

Тогда уравнение (мы учли, что sin 2t ? 0) примет вид

или

Так как 2 cos? t = 1 + cos 2t, а 2 sin? t = 1 ? cos 2t, то после сокращения дроби в левой части уравнения на cos 2t получим

cos t = ¹/_{2 cos 2t ? 1},

где cos 2t ? 0.

Если cos 2t ? ?, то

2 cos 2t cos t ? cos t =