Ответ. 
14.11. Так как sin x + cos x = v2 cos (x ? ?/4), то, обозначив cos (?/4 ? x) = y, получим неравенство
Это неравенство равносильно такому:
Так как y не превосходит 1, то 2 ? y > 0. Поэтому y > ?.
Решением неравенства cos (?/4 ? x) > ? будут значения x ? ?/4, лежащие между 2k? ? arccos ? < x < 2k? + arccos ?.
Ответ. 2k? + ?/4 ? arccos ? < x < 2k? + ?/4 + arccos ?.
14.12. Перепишем неравенство в виде
Преобразуем знаменатель
cos x cos 3x = ?(cos 2x + cos 4x) = ?(cos 2x + 2 cos? 2x ? 1)
и введем обозначение cos 2 x = y. Получим
откуда y < ?1, 0 < y < ? и, наконец, 0 < cos 2x < ?.
Ответ: ??/4 + n? < x < ??/6 + n?; ?/6 + n? < x < /4 + n?.
14.13. Пусть y = cos x, где | y| ? 1. Выражение 17/7 ? cos x всегда положительно. Поэтому обе части данного неравенства можно возвести в квадрат; получим равносильное неравенство
Когда правая часть отрицательна, придем к системе
решением которой будут значения y > 5/14·
Когда правая часть неотрицательна, то получим другую систему
Второе неравенство этой системы можно переписать в виде
2 · 49у? ? 7 · 27у + 25 < 0,
откуда
1/7 < y < 25/14, т. е. y > 1/7, так как y = cos x.
Решения всей системы будут лежать в интервале
1/7 < y ? 5/14
Объединяя его с интервалом y > 5/14, получим y > 1/7·
Ответ. ?arccos 1/7 + 2n? < x < arccos 1/7 + 2n?.
14.14. Выразим sin x и cos x через tg x/2 и обозначим tg x/2 = y. Придем к неравенству
которое равносильно исходному. В самом деле, замена sin x и cos x их выражениями через tg x/2 может привести к потере решений, так как tg x/2 перестает существовать в тех точках, в которых sin x и cos x существуют Однако tg x/2 входит в первоначальное неравенство, а потому эти точки исключены с самого начала. Сокращение числителя и знаменателя на y? + 1, очевидно, не приводит ни к потере, ни к приобретению корней, так как y? + 1 ? 0 и y не исчез полностью из неравенства.
Неравенство относительно y перепишем в виде
После разложения левой части на множители получим
откуда 
Находим интервалы изменения x:
Остается выделить решения, лежащие в интервале 0 < x < ?.
Ответ. 
14.15. Выразив sin 3? и cos 2? через sin ? и обозначив sin ? = y, получим
4(3y ? 4у?) + 5 ? 4 ? 8у? + 5у,
или
16у? ? 8у? ? 7у ? 1 ? 0.
Нетрудно заметить, что y = 1 — корень многочлена, стоящего в левой части неравенства. Теперь можно разложить этот многочлен на множители:
16у? ? 8у? ? 7у ? 1 = (y ? 1)(4у + 1)?.
Так как y = sin ?, то y ? 1 ? 0, а следовательно, и многочлен 16у? ? 8у? ? 7y ? 1 неположителен, что доказывает неравенство.
14.16. Значения x = ?k, при которых sin x = 0, являются решениями неравенства при всех а > 0. На множестве остальных точек данное неравенство равносильно такому:
Так как
(сокращение на sin x правомерно, так как рассматриваются точки, в которых
