y, и данное неравенство можно переписать в виде
(докажите, что последнее преобразование не нарушает равносильности). При 0 < y < 1 и y > 1 получаем различные системы:
Их можно объединить в одну:
Второе неравенство можно решить методом интервалов
т. е. y > 1.
Итак, tg? x > 1, причем tg x > 0.
Ответ. ?/4 + k? < x < ?/2 + k?.
15.3. Так как выражения, стоящие под знаками логарифмов, должны быть положительными, то указанный в условии интервал можно сузить: 0 < x < ?/2. Данное неравенство равносильно системе
Второе неравенство перепишем в виде
sin? x + sin x ? 1 < 0,
откуда
Учитывая, что в интервале 0 < x < ?/2 должно быть sin x > 0, получим
Ответ. 
15.4. Данное неравенство можно переписать так:
log2 cos 2x + log2 sin x + log2 cos x + log2 8 < 0,
т. е.
Первое неравенство можно переписать в виде
sin 4x < ?.
Два последних неравенства требуют, чтобы подвижный радиус угла x лежал в первой четверти, а неравенство cos 2x > 0 сужает эту область до первой половины первой четверти (на рис. P.15.4, а — заштрихованный сектор).
Остается выбрать решения неравенства sin 4x < ?, лежащие в этих промежутках. Все решения неравенства sin 4x < ? можно записать в виде
?7?/6 + 2n? < 4x < ?/6 + 2n?,
т. е.
?7?/24 + n?/2 < x < ?/24 + n?/2
(рис. P.15.4, а). В интересующий нас интервал 0 < x < ?/4 из этой серии частично попадут лишь два интервала: ?7?/24 < x < 13?/24 (рис. P.15.4, б). Теперь нетрудно написать окончательный ответ.
Ответ. 2n? < x < ?/24 + 2n?; 5?/24 + 2n? < x < ?/4 + 2n?.
15.5. Вместо данного неравенства можно написать 0 < |cos x + v3 sin x| < 1, что равносильно системе
Так как cos x + v3 sin x = 2 cos (x ? ?/3), то получим
В условии сказано, что 0 ? x ? 2?, поэтому x ? ?/3 нужно искать в интервале ??/3 ? x ? ?/3 ? 2? ? ?/3.
На рис. P.15.5 изображено расположение на тригонометрическом круге значений y = x ? ?/3, удовлетворяющих последней системе, т. е.
?/3 < x ? ?/3 < ?/2, ?/2 < x ? ?/3 < 2?/3,
4?/3 < x ? ?/3 < 3?/2, 3?/2 < x ? ?/3 < 5?/3,
Ответ. 2?/3 < x < 5?/6, 5?/6 < x < ?,
5?/3 < x < 11?/6, 11?/6 < x < 2?.
15.6. Неравенство можно переписать так:
cos (|lg x| ? ?/4) > ?,
откуда
??/3 + 2n? < |lg x| ? ?/4 < ?/3 + 2n?,
т. е.
??/12 + 2n? < |lg x| < 7?/12 + 2n?.
При n < 0 не удовлетворяется правое неравенство.
При n = 0 имеем |lg x| < 7?/12, т. е. ?7?/12 < lg x < 7?/12, а потому 
При n = 1, 2, 3, ... имеем ??/12 + 2n? < lg x < 7?/12 + 2n? и ?7?/12 ? 2n? < lg x < ?/12 ? 2n?.
Ответ.
n = 1, 2, 3, ... .
15.7. Так как arccos (х? + Зх + 2) ? 0, то данное неравенство равносильно системе
Другими словами,
