Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

корнями которого будут числа

x = ^?/₆ + 2?k, x = ^5?/₆ + 2?k.

Остается вспомнить, что tg x > 0.

Ответ. k?, ^?/₆ + 2k?.

13.14. При замене ¹/_{sin 4x} на  можно ожидать потери корней, при которых tg 2x не существует, или, что то же самое, cos 2x = 0. Однако при cos 2x = 0 обращается в нуль и sin 4x, т. е. потери корней не произойдет.

Так как в левую часть уравнения

ctg 2x + 3 tg 3x = 2 tg x + (1 + tg? 2x)¹/_{tg 2x}

входит ctg 2x, то, заменив ¹/_{tg 2x} на ctg 2x и раскрыв скобки, мы уничтожим в правой и левой частях ctg 2x. Замена ¹/_{tg 2x} = ctg 2x грозит лишь приобретением корней, при которых tg 2x не существует, т. е. безопасна, так как tg 2x остается в уравнении. Когда происходит уничтожение одинаковых слагаемых ctg 2x, то нужно добавить к уравнению

3 tg 3x = 2 tg x + tg 2x,

условие

ctg 2x существует.

Мы воспользовались попутно неабсолютным тождеством tg 2x ctg 2x = 1, которое не приводит к приобретению посторонних корней, так как tg 2x и ctg 2x остались в системе.

Преобразуем уравнение следующим образом:

2(tg 3x ? tg x) + tg 3x ? tg 2x = 0,

т. е.

Теперь систему можно переписать так:

Так как sin 2x ? 0, то на него можно сократить. Получим уравнение

cos 2x = ??,

откуда x = ±arccos(??) + k?. Поскольку при этих x все ограничения выполняются, найденные значения x являются решениями данного уравнения.

Ответ. ±arccos(??) + k?.

13.15. Данное уравнение равносильно системе

Пусть sin x? + cos x? = y. Возведем это соотношение в квадрат: 1 + 2 sin x? cos x? = y?, откуда

sin x? cos x? = ^{y? ? 1}/₂.

После подстановки и простых преобразований уравнение примет вид

y? ? 2y ? 3 = 0,

откуда y₁ = ?1, y₂ = 3. Второй корень посторонний, так как sin x? + cos х? всегда меньше двух.

Если sin x? + cos x? = ?1, то

cos (х? ? ^?/₄) = ?¹/_v2 и x? = 2n? ± ^3?/₄ + ^?/₄.

Взяв знак плюс, получим x? = ?(2n + 1). Этот корень посторонний, так как sin x? ? 0.

Для знака минус получим, что x? = ?^?/₂ + 2n?. Это тоже посторонний корень, так как cos x? ? 0.

Ответ. Нет решений.

13.16. Данное уравнение равносильно системе

Уравнение можно привести к однородному, домножив 6 sin x на sin? x + cos? x:

3 sin? x ? cos? x ? 2 sin x cos? x = 0.

Обозначим tg x через y, получим

3y? ? 2y ? 1 = 0, или (y ? 1)(3y? + 3y + 1) = 0,

где квадратный трехчлен не имеет действительных корней.

Остается y = 1, т. е. tg x = 1, x = ^?/₄ + n?. Однако cos 2x при x = ^?/₄ + n? обращается в нуль.

Ответ. Нет решений.

13.17. С помощью формул универсальной подстановки придем к уравнению относительно y = tg ^x/₂:

y(2y? ? 7у? ? 2y + 1) = 0.

В результате такой замены могли быть потеряны корни, так как tg ^x/₂ теряет смысл при x = ? (2k + 1), в то время как sin x, cos x и tg x при этих значениях x имеют смысл. Проверкой убеждаемся, что эти значения неизвестного не являются корнями исходного уравнения.

Один корень полученного алгебраического уравнения очевиден: y = 0. Второй мы найдем на основании теоремы о рациональных корнях многочлена, испытав y = ±1; ±?. Убеждаемся, что y = ?? — второй корень уравнения. Разделив многочлен 2y? ? 7у? ? 2y + 1 на 2y + 1, получим уравнение

y? ? 4y + 1 = 0,

которое даст еще два корня: y = 2 + v3, y = 2 ? v3.

Если tg ^x/₂ = 2 + v3, то

то же самое мы получим и при tg ^x/₂ = 2 ? v3.

Так как и обратно из sin x = ? следует, что