Когда tg x ? 0, то и sin x ? 0. Это означает, что первое уравнение можно переписать в виде 1/cos x = 2, откуда cos x = ?, что обеспечивает выполнение всех ограничений.
Ответ. 2n? ± ?/3.
13.6. Прибавив к обеим частям уравнения tg 3x, получим
3(tg 3x ? tg 2x) = tg 3x (1 + tg? 2x),
или
Последнее уравнение эквивалентно системе
Решим первое уравнение. Для этого представим произведение sin x cos 2x в виде разности синусов. После приведения подобных членов получим
sin 3x = 3 sin x.
Воспользовавшись формулой синуса тройного угла, придем к уравнению
sin x (3 ? 4 sin? x) = 3 sin x, или sin? x = 0,
откуда x = ?k.
Легко проверить, что при x = ?k ни cos 2x, ни cos 3x в нуль не обращаются.
Ответ. ?k.
13.7. Преобразуем уравнение следующим образом:
(sin x + cos x)(1 ? sin xcos x) + 1/v2 sin 2xsin (x + ?/4) = sin (?/2 ? x) + sin 3x.
Так как sin x + cos x = v2 sin (?/4 + x), то придем к уравнению
sin (?/4 + x) = v2 sin (?/4 + x ) cos (?/4 ? 2x).
Если sin (?/4 + x) = 0, то x1 = ?/4(4n ? 1). Остается
v2 cos (?/4 ? 2x) = 1,
откуда
x2 = n?, x3 = ?/4(4n + 1).
Серии чисел x1, = ?/4 (4n ? 1) и x3 = ?/4 (4n + 1) можно объединить: x1 = ?/4(2n + 1).
Ответ. ?/4(2n + 1); n?.
13.8. Перепишем уравнение следующим образом:
4(tg 4x ? tg 3x) = tg 2x (1 + tg 3x tg 4x).
Приведем выражения в скобках к виду, удобному для логарифмирования:
Уравнение равносильно системе
Так как cos x = 0 не удовлетворяет уравнению, то его можно переписать так:
4 tg x = tg 2x, или 2 tg x = tg x/1 ? tg? x.
Мы воспользовались неабсолютным тождеством, которое исключает из области определения те значения x, при которых tg x не существует. Однако tg x входил в предыдущее уравнение, а потому существует, и потеря корней произойти не может. Из последнего уравнения, если tg x = 0, получаем x = n?.
Если tg x ? 0, то 2 ? 2 tg? x = 1, tg x = ±1/v2. Так как cos 3x и cos 4x не обращаются при этом в нуль, то можно написать ответ.
Ответ. n?; n? ± arctg 1/v2.
13.9. Уравнение можно переписать так:
Поскольку 0 < x < 2?, то 0 < x/2 < ? и sin x/2 > 0. Однако cos x/2 в этом интервале меняет знак, и нам придется разбить интервал на два: 0 < x ? ? и ? < x < 2?.
Если 0 < x ? ?, получим уравнение
v2/2 sin x/2 + v2/2 cos x/2 = sin 2x,
y которого может появиться лишь один посторонний корень при cos x = 0. Перепишем последнее уравнение так:
sin (x/2 + ?/4) = sin 2x,
и найдем его корни из интервала 0 < x ? ?: x1 = ?/6, x2 = 3?/10. Если ? < x < 2?, придем к уравнению
v2/2 sin x/2 ? v2/2 cos x/2 = sin 2x или sin (x/2 ? ?/4) = sin 2x,
которое даст нам еще два корня: x3 = 7?/6, x4 = 13/10 ?. Очевидно, что для полученных углов cos x ? 0.
Ответ. ?/6; 3?/10; 7?/6; 13?/10.
13.10. Перенеся sin ? в левую часть, запишем уравнение в виде
2 sin x/2 cos x ? 2?/2 = 2 sin x/2 cos x/2,
