Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

(3^x ? 1) через y, получим

y? + y ? 6 = 0,

откуда y₁ = ?3, y₂ = 2.

Если log₃ (3^x ? 1) = ?3, то 3^x = ²⁸/₂₇ и x₁ = log₃ 28 ? 3. Если log₃ (3^x ? 1) = 2, то 3^x = 10 и x₂ = log₃ 10.

Ответ. log₃ 28 ? 3, log₃ 10.

11.11. Перепишем уравнение в виде

log₇ x + log_x 7 = log?₇ x + log?_x 7 ? ⁷/₄.

Дополним правую часть его до полного квадрата суммы (заметим, что log₇ x · log_x 7 = 1) и обозначим

log₇ x + log_x 7 = y.

Получим уравнение:

4у? ? 4у ? 15 = 0, откуда у₁ = ⁵/₂, y₂ = ?³/₂.

Если log_x 7 + log₇ x = ⁵/₂, то

Если же log_x 7 + log₇ x = ?³/₂, то получим уравнение

y которого нет действительных корней.

Ответ. x₁ = 49, x₂ = v7.

11.12. Прологарифмируем по основанию 3 и перейдем к общему основанию логарифмов:

откуда следует уравнение

y? ? 2y + 1 = 0,

где y = log₃ x.

Так как у? ? 2y + 1 = (y ? 1)(y? + y ? 1), то

y₁ = 1, y_2,3 = ^{?1 ± v5}/₂.

Находим соответствующие x и проверяем их.

Ответ. x₁ = 3, x_2,3 = 3.

11.13. Если

y = log_х 3,

то придем к уравнению

из которого получается цепочка следствий

Проверкой убеждаемся, что второе значение y не удовлетворяет исходному уравнению, так как y должен быть отрицательным.

Ответ. x = ¹/₉.

11.14. Приведя уравнение к общему знаменателю и отбросив его, получим следствие данного уравнения:

log₄ x + log₄(10 ? x) = 2,

откуда

x? ? 10x + 16 = 0, x₁ = 2, x₂ = 8.

Проверкой убеждаемся, что это — корни исходного уравнения.

Ответ. x₁ = 2, x₂ = 8.

11.15. Перепишем данное уравнение так:

При этом преобразовании мы могли потерять корень, так как при x = 1 левая часть полученного уравнения теряет смысл, в то время как обе части исходного уравнения существуют. Проверкой убеждаемся, что x = 1 — корень данного уравнения[21].

Преобразуем выражения, стоящие в знаменателях и обозначим log_x 2 = y:

¹/_{1 ? y} ? ²¹/_{4y + 1} + ¹⁰/_{2y + 1} = 0.

Это уравнение равносильно системе

При y = ?2 и y = ?, являющихся корнями уравнения, условие, входящее в систему, удовлетворяется.

Ответ. x₁ = 1, x₂ = ¹/_v2, x₃ = 4.

11.16. Перепишем уравнение в виде

Так как

то придем к уравнению

log₂ 6 ? log₂ (4 ? x) = log₂ (3 + x),

откуда

х? ? x ? 6 = 0, x₁ = ?2, x₂ = 3.

Все применявшиеся преобразования приводили к следствию исходного уравнения. Первый корень при проверке отбрасываем, так как  при x = ?2 не существует.

Ответ. x = 3.

11.17. Уравнение равносильно системе

или