Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

т. е. после того как вынесем 3^{2x ? 1} и 2^{x + ?} за скобки,

Из последнего уравнения следует, что

3^{2x ? 3} = (v2)^{2x ? 3},

т. е. (³/_v2)^2x ? 3 = 1, откуда 2x ? 3 = 0.

Ответ. x = ³/₂.

11.4. Обозначив 3^{?|x ? 2|} = y, придем к квадратному уравнению

y? ? 4y ? а = 0,

корни которого

Первый корень  приходится отбросить, так как ?| x ? 2| ? 0 и 3^{?|x ? 2|} ? 1, а  не может стать меньше двух.

Исследуем второй корень:

Чтобы это уравнение имело решение, необходимо выполнение трех условий, которые сведены в систему неравенств:

Решая эту систему, найдем ?3 ? а < 0.

Ответ. При ?3 ? а < 0 два решения:

при остальных а решений нет.

11.5. Решая квадратное уравнение относительно 12^{| x|}, найдем

Первое ограничение: 1 ? а ? 0, т. е. а ? 1. Кроме того, 12^|x| не может стать меньше единицы. Если перед корнем выбран знак плюс, то последнее требование выполняется, если же взят знак минус, то лишь при а = 1. Это значение а можно учесть при рассмотрении уравнения

Ответ.  при а ? 1; при остальных а решений нет.

11.6. Уравнение можно записать так:

или

Прологарифмируем по основанию 10

откуда x₁ = 2, x₂ = ?¹/_{lg 5}.

Ответ. 2, ?¹/_{lg 5}.

11.7. Так как (2 + v3)(2 ? v3) = 1, то 2 + v3 и 2 ? v3 — взаимно обратные числа. Обозначим

(2 + v3)^{x? ? 2x} = y.

Тогда данное уравнение можно записать так:

y + ¹/_y = ¹⁰¹/₁₀

(мы разделили обе части уравнения на 2 + v3).

Решая это уравнение, найдем

y₁ = ¹/₁₀, y₂ = 10.

Покажем, что первый корень, который приводит к уравнению

(2 + v3)^{x? ? 2x} = ¹/₁₀,

посторонний.

Так как 2 + v3 > 1, то x? ? 2x < 0. Выражение x? ? 2x достигает своего минимума в точке x = 1. Этот минимум равен ?1. Поскольку 2+ v3 < 4, то в левой части последнего уравнения стоит число, большее ?, а следовательно, ни при каких x не равное ¹/₁₀.

Остается решить уравнение

(2 + v3)^{x? ? 2x} = 10.

Прологарифмируем его по основанию 2 + v3:

x? ? 2x ? log_{2 + v3} 10 = 0.

Ответ.

11.8. Перепишем уравнение так:

Сразу же видно, что x = 2 — корень уравнения. Покажем, что других корней нет.

Обозначим для удобства первое основание через а, а второе через b. Оба этих основания меньше единицы. Поэтому

b < а < 1;

если x < 2, то а^x > а?, b^x > b?, и следовательно,

а^x + b^x > 1;

если же x > 2, то а^x < а?, b^x < b?, и следовательно, а^x + b^x < 1.

Ответ. x = 2.

11.9. Если x ? 2 ? 0, 1, ?1, то log₂ (x + 31) = 3, x = ?23. При x = 2 = 0, т. е. x = 2, имеем , и так как log₂31 > 0, то уравнение удовлетворяется.

При x ? 2 = 1, т. е. x = 3, уравнение также удовлетворяется.

Если x ? 2 = ?1, т. е. x = 1, имеем

Остается проверить значение x = ?23. Тогда log₂ 8 = 3, и уравнение снова удовлетворяется.

Ответ. ?23, 1, 2, 3.

11.10. Так как log₃ (3^{x + 1} ? 3) = 1 + log₃ (3^x ? 1), то, обозначив log₃