Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

где y = log_k x. Последнее неравенство можно переписать так:

Выражение, стоящее в числителе, всегда положительно. Поэтому решением неравенства будут два интервала:

y < ?1, y > 0.

Вспоминая, что y = log_k x и 0 < k < 1, найдем соответствующие интервалы для x.

Ответ. 0 < x < 1, x > ¹/_k.

10.40. Поскольку 4^x ? 6 должно быть больше нуля, то x > 1. Следовательно, приходим к системе неравенств

Решая второе неравенство системы, найдем x > log₂ v7.

Третье неравенство перепишем в виде системы

решением которой будет интервал log₂ v6 < x ? log₂3. Так как log₂ v7 > log₂ v6, то получим решение данного неравенства.

Ответ. log₂ v7 < x ? log₂ 3.

10.41. Данное неравенство эквивалентно такому:

Знаменатель всегда положителен. Поэтому

|х? ? 4x| + 3 ? x? + | x ? 5|,

остается раскрыть знаки абсолютной величины. Нанесем точки 0, 4, 5 на числовую ось и рассмотрим четыре случая.

Если x < 0, то получаем систему

которой удовлетворяет полупрямая x ? ??.

Если 0 ? x ? 4, приходим к системе

решением которой будет отрезок 1 < x < 2.

Если 4 < x ? 5, то наше неравенство примет вид x? ? 4x + 3 ? x? + 5 ? x, откуда x ? ??. Это не удовлетворяет условию 4 < x ? 5, а потому в данном случае решений нет.

Остается случай x > 5. Раскрывая знаки абсолютных величин, получим x ? ⁸/₅. Здесь снова нет решений.

Ответ. x < ??; ? ? x ? 2.

10.42. Из условия следует, что x > 2. Поэтому x? ? 7 > 0, а также x ? 1 > 1 и (x ? 1)? > 1. Данное неравенство равносильно такому:

Так как x ? 1 > 0, то  Поскольку x? ? ⁷/₂ > 0, то ограничение x > 2 достаточно для того, чтобы следующие преобразования приводили к равносильным неравенствам:

После упрощений последнее неравенство сведется к квадратному: ?4x? + 5x + ³/₂ ? 0, имеющему решения ?? < x < ³/₂. Так как, кроме того, x > 2, то исходное неравенство не имеет решений.

Ответ. Решений нет.

10.43. Так как первый сомножитель положителен, то, чтобы неравенство удовлетворялось, необходимо

log₂ (2 ? 2x?) > 0, т. е. 2 ? 2x? > 1, v2|x| < 1,

откуда

0 ? v2|x| < 1 и ?1 ? v2|x| ? 1 < 0.

Следовательно, |v2|x| ? 1| ? 1. Таким образом, первоначальное неравенство может удовлетворяться только, если

log₂ (2 ? 2x?) ? 1, или 2 ? 2x? ? 2, ?x? ? 0,

т. е. x = 0. Проверкой убеждаемся, что x = 0 является решением неравенства.

Ответ. x = 0.

10.44. Так как , то перепишем неравенство следующим образом:

Обозначив log₃ ^{x + 1}/_{x ? 1} = y, получим log₂ y < 0, откуда

0 < y < 1, т. е. 0 < log₃ ^{x + 1}/_{x ? 1} < 1, 

а потому  1 < ^{x + 1}/_{x ? 1} < 3.

Последнее неравенство можно записать так:

(^{x + 1}/_{x ? 1} ? 1) (^{x + 1}/_{x ? 1} ? 3) < 0

(если некоторое выражение заключено между двумя числами, то разности между ним и каждым из этих чисел имеют разные знаки).

После выполнения действий в скобках и небольших упрощений получим

^{x ? 2}/_{(x ? 1)?} > 0,

откуда x > 2.

Ответ. x > 2.

10.45. Если 0 < x? ? 1 < 1, то придем к системе

Так как последнее неравенство следует из первого, то получаем такую систему:

откуда 1 < x < v2.

Если x? ? 1 > 1, т. е. x? > 2, то приходим ко второй системе: