Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Поскольку неравенство 1 ? y < 2 эквивалентно неравенству ^{y ? 1}/_{y ? 2} ? 0, получаем

Ответ. x ? 2.

10.34. Данное неравенство равносильно системе

0 < |^{x ? 1}/_{2x + 1}| < 1.

Тем самым мы обеспечили положительность числа, стоявшего в условии под знаком логарифма. Левое неравенство можно заменить условием x ? 1. Тогда получим систему

Эту систему можно преобразовать так:

Входящее в эту систему неравенство можно возвести в квадрат, не нарушая его равносильности:

(x ? 1)? < (2x + 1)?,

т. е. 3x? + 6х > 0, откуда x < ?2, x > 0. Итак,

Ответ. x < ?2, 0 < x < 1, x > 1.

10.35. Приведем все логарифмы, участвующие в неравенстве, к основанию 5:

Последнее из преобразований правой части неравенства требует, вообще говоря, ограничения x ? 1. Однако это значение неизвестного оказывается «запретным», поскольку в левой части остается выражение, содержащее log₅ x в знаменателе. Получаем равносильное неравенство

которое преобразуется к виду

допускающему применение метода интервалов. Итак,

log₅ x < ??, 0 < log₅ x < log₅ 3.

Ответ. 0 < x < ¹/_v5, 1 < x < 3.

10.36. Так как log_? N = ?log₂ N, то данное неравенство перепишем в виде

log₂ (2^x ? 1)log₂ (2^{x + 1} ? 2) < 2.

Преобразуем второй сомножитель:

log₂ (2^{x + 1} ? 2) = log₂ [2 (2^x ? 1)] = 1 + log₂ (2^x ? 1).

Обозначив log₂ (2^x ? 1) = y, получим квадратное неравенство

y(y + 1) < 2, или y? + y ? 2 < 0,

решения которого лежат в интервале

?2 < y < 1.

Вспоминая, чему равен y, получим

?2 < log₂ (2^x ? 1) < 1,

? < 2^x ? 1 < 2, ⁵/₄ < 2^x < 3.

Ответ. log₂ 5 ? 2 < x < log₂ 3.

10.37. Преобразуем левую часть неравенства:

Неравенство

log_{|x + 6|} (х? ? x ? 2) ? 1

равносильно совокупности двух систем

Второе неравенство первой системы равносильно совокупности систем решая которые найдем

x ? ?2, x ? 4.

Таким образом, первая система может быть приведена к виду

и ее решениями будут интервалы:

x < ?7, ?5 < x ? ?2, x ? 4.

Решая второе неравенство второй системы, получим ?2 ? x ? 4, а третье неравенство имеет решения x < ?1, x > 2. Следовательно, система принимает вид

т. е. не имеет решений.

Ответ. x < ?7, ?5 < x ? ?2, x ? 4.

10.38. Обозначим log_а x = y. Неравенство примет вид

^{1 + y?}/_{1 + y} > 1.

Так как 1 + y? > 0, то и 1 + y > 0. Поэтому данное неравенство равносильно системе

т. е.

Получаем два интервала решений:

?1 < y < 0, y > 1.

Так как y = log_а x, то нужно рассмотреть два случая.

Во?первых, если а > 1, то log_а x ? функция возрастающая и мы получим два интервала решений:

¹/_a < x < 1, x > а.

Если же 0 < а < 1, то получим другие два интервала решений:

1 < x < ¹/_a, 0 < x < а.

Ответ. При а > 1: ¹/_a < x < 1, x > а; при 0 < а < 1: 0 < x < а, 1 < x < ¹/_a.

10.39. Перейдем к основанию k: