Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

^{2x ? 1}/_{3 ? x}, откуда x(2 + n) = 3n + 1. Так как при n = ?2 последнее уравнение не удовлетворяется, то

x = ^{3n + 1}/_{2 + n}.

Из условия x < 0 находим x = ^{3n + 1}/_{2 + n} < 0 и, следовательно, ?2 < n < ??. Единственное целое число в этом интервале n = ?1, а соответствующее ему значение неизвестного x = ?2. Проверяем это значение, подставляя его в первоначальное неравенство: (?2)^?1 < 1.

Ответ. x = ?2, ? < x < 1, x > 3.

10.30. Предположим, что основание больше единицы, т. е. 4x? + 12x + 10 > 1, или (2x + 3)? > 0. Это имеет место при всех x, кроме x = ?³/₂. При x = ?³/₂ основание равно единице, и, следовательно, исходное неравенство удовлетворяется. Если же x ? ?³/₂, то оно равносильно неравенству

|х? ? 5х + 2| ? x ? 2,

которое заведомо удовлетворяется при x ? 2 ? 0, т. е. при x ? 2. Пусть теперь x > 2. Разложим трехчлен на множители:

|х? ? 5х + 2| = |х? ? 4x ? (x ? 2)| = |x ? 2| | х? + 2x ? 1| = (x ? 2)| х? + 2x ? 1|.

Так как x > 2, то получаем равносильное неравенство

|х? + 2x ? 1| ? 1,

а поскольку x? + 2x ? 1 = x? + 2(x ? ?) > 0, то

х? + 2x ? 1 ? 1, или x? + 2 (x ? 1) ? 0.

Последнее неравенство удовлетворяется при любом x > 2.

Ответ. x ? любое действительное число.

10.31. Так как x > 0, то вместо неравенства

можно написать

Если а > 1, то при логарифмировании по основанию а знак неравенства не изменится:

(log_а x)? > 2,

откуда log_a x < ?v2,  log_a x > v2, т. е.

Если 0 < а < 1, то (log_a x)? < 2 и

Ответ. При 0 < a < 1,  при а > 1,  x > a^v2.

10.32. Если x > 0, то получаем неравенство, равносильное данному:

откуда 0 < x < 1.

Значение x = 0 удовлетворяет исходному неравенству. Если же x < 0, то непременно

^{5x + 2}/_{5x + 10} =n,

где n — целое. Из условия x < 0 находим

x = ^{10n ? 2}/_{5 ? 5n} < 0,

откуда n < ¹/₅, n > 1, или n ? 1. Мы получили бесконечное множество значений x. Чтобы выбрать из них подходящие, разберем два случая, в зависимости от того, четное или нечетное число n. Когда n = 2k, данное неравенство можно переписать в виде |x|^2k < 1, т. е. (|x| ? 1)k < 0. Поскольку x < 0, то получаем (x + 1)k > 0. Так как x = ^{20k ? 2}/_{5 ? 10k}, то

откуда k < ?³/₁₀, 0 < k < ?. Так как k — целое, то k = ?1, ?2, ?3, ... . Получаем серию решений первоначального неравенства: x = ^{20k ? 2}/_{5 ? 10k}, k = ?1, ?2, ?3, ... .

Пусть теперь n = 2k + 1. Тогда x = ^{10(2k + 1) ? 2}/_{5 ? 5 (2k + 1)} = ?^{10k + 4}/_5k. Так как x < 0, то исходное неравенство при этих значениях n удовлетворяется, если n ? 1, т. е. k ? 0.

Ответ. 0 ? x < 1, x = ^{20k ? 2}/_{5 ? 10k}, k = ?1, ?2, ?3, ...; x = ?^{10k + 4}/_5k, k = ±1, ±2, ±3, ... .

10.33. Данное неравенство эквивалентно неравенству

0 ? log₂ ^{3 ? 2x}/_{1 ? x} < 1.

(Ограничение слева обеспечивает неотрицательность числа, стоявшего под знаком квадратного корня.)

Поскольку 0 = log₂ 1, 1 = log₂ 2 и основание логарифмов больше единицы, последнее неравенство можно записать так:

1 ? ^{3 ? 2x}/_{1 ? x} < 2.

Требование положительности числа ^{3 ? 2x}/_{1 ? x}, которое могло быть нарушено при таком преобразовании, выполняется здесь автоматически.