Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

(k ? 2)(k + 1)(k + 2) (k ? 1) < 0.

Ответ. ?2 < k < ?1; 1 < k < 2.

10.18. Условие, что ветви параболы направлены вверх, означает, что m > 0. Если парабола не пересекает ось Ox, то получаем систему

Если же данный квадратный трехчлен имеет действительные корни, то больший корень не должен быть положительным:

Второе неравенство второй системы (а следовательно, и вся система) не имеет решений при m > 0, так как числитель и знаменатель оказываются положительными.

Решая второе неравенство первой системы, найдем

m < ?⁴/₃, m > 1.

Принимая во внимание первое неравенство, находим решение системы: m > 1.

Пусть теперь m = 0. Правая часть данного неравенства принимает вид ?4x + 1 > 0, т. е. x < ?, и неравенство удовлетворяется не при всех положительных x.

Ответ. m > 1.

10.19. Неравенство равносильно совокупности двух систем

Решая каждое из четырех неравенств, придем к новой совокупности двух систем:

Итак, 3 ? x < 5, 2 < x < 3.

Ответ. 2 < x < 5.

10.20. Неравенство можно переписать в виде

(x ? 3)? > (x + 2)?,

откуда после раскрытия скобок и приведения подобных получим линейное неравенство.

Ответ. x < ?.

10.21. При x > 0 неравенство можно переписать в виде

Последнее неравенство равносильно системе

которая несовместна, так как несовместны два последних неравенства.

При x < 0 входящее в данное неравенство выражение  не существует.

Ответ. Неравенство не имеет решений.

10.22. Данное неравенство можно переписать так:

Получаем совокупность двух систем

Решаем первую систему

Если правая часть второго неравенства отрицательна (x > ?), то неравенству будут удовлетворять все x, при которых подкоренное выражение неотрицательно (x? ? ?, |x| ? ?). Получаем интервал решений ? < x ? ?.

Если правая часть второго неравенства неотрицательна (x ? ?), то второе неравенство можно возвести в квадрат (дополнять систему условием 1 ? 4x? ? 0 или |x| ? ? не нужно). После простых преобразований получим

откуда 0 < x ? ?. Объединяя интервалы 0 < x ? ? и ? < x ? ?, получим решение первой системы: 0 ? x ? ?.

Перейдем ко второй системе:

Условие x < 0 обеспечивает положительность правой части второго не равенства. Возведем второе неравенство в квадрат, учитывая, что |x| ? ?. Получим

Ответ. ?? ? x < 0, 0 < x ? ?.

10.23. Перепишем данное неравенство в виде

Так как в неравенство входит выражение  а потому . Вынесем множитель  за скобки:

Это неравенство равносильно системе

Возведем первое неравенство системы в квадрат. При этом следует добавить условие, в силу которого выражение, «освободившееся» от влияния радикала, должно быть неотрицательным:

Так как x? ? x + 1 > 0 при всех x, то первому неравенству системы могут удовлетворять только x > 0, ибо выражение справа всегда положительно. Следовательно, систему можно переписать в виде

Обозначим  тогда первое неравенство примет вид y? ? 2y + 1 > 0, т. е. (y ? 1)? > 0, откуда y ? 1. Итак,

Последняя система равносильна такой:

Ответ.

10.24. При x > 0 правая часть неравенства положительна, так как в этом случае  Возведем обе части неравенства в квадрат; получим систему

Последнее неравенство системы — следствие того, что x > 0. Перенесем во втором неравенстве 1 + x в левую часть и произведем некоторые упрощения. Получим систему

Так как x > 0, то второе неравенство можно возвести в квадрат, не добавляя при этом никаких ограничений (убедитесь в этом самостоятельно):

^{121x? + 198x +}