Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

равенств 4a + 1 = 1, 4b + 1 = 1, 4с + 1 = 1, т. е. при а = b = с = 0, что противоречит условию а + b + с = 1.

Итак,

10.6. Пусть b < а. Тогда

(а + b)ⁿ ? (2a)ⁿ = 2ⁿaⁿ < 2ⁿ (aⁿ + bⁿ).

10.7. Так как ( ^а/_b)^{x ?} возрастающая показательная функция (по условию а > b) и p > q, то

Воспользовавшись формулой производной пропорции, получим

что и требовалось доказать.

10.8. Имеем n очевидных неравенств:

Первое и последнее неравенства обязательно будут строгими, так как по условию n > 1. Перемножая эти неравенства, получим

10.9. Способ 1. Обозначим ^a/_b = u, ^b/_c = v, ^c/_a = w. Тогда uvw = 1, т. е. среди чисел u, v и w есть хотя бы одно, большее 1, и одно, меньшее 1 (u = v = w невозможно, так как а, b и с не равны друг другу). Пусть u > 1, а 0 < v < 1, т. е.

(1 ? u)(v ? 1) > 0 или ?uv + u + v ? 1> 0.

С другой стороны, для чисел u, v и e выполняется неравенство

т. е. uv + w ? 2. Складывая это неравенство с неравенством ? uv + u + v ? 1 > 0, получим

u + v + w > 3, или ^a/_b + ^b/_c + ^c/_a > 3.

Способ 2. Пусть u, v и w — положительные числа, причем w — наименьшее из них: u > w, v > w. Так как u и w — положительные числа, то на них можно умножить неравенство v > w:

v(u ? w) > w (u ? w), т. е. uv ? vw + w? > uw.

Поделим последнее неравенство на uw:

^v/_w ? ^v/_u + ^e/_u > 1.

С другой стороны,

^u/_v + ^v/_u ? 2.

Складывая с предыдущим неравенством, получим

^u/_v + ^v/_w + ^w/_u > 3.

Если с — наименьшее из чисел а, b и с, то полагаем w = с, u = а, v = b и получаем неравенство, которое требовалось доказать. Если а или b — наименьшее из чисел а, b и с, то обозначения соответственно изменятся.

Способ 3. Пусть b = с + d₁, а = b + d₂ (d₁ > 0, d₂ > 0, т. е. а > b > с). Тогда

Это решение обобщается на случай n чисел:

т. е.

10.10. Воспользуемся формулой Герона и применим к сомножителям p ? а, p ? b, p ? с неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим трех чисел (p ? а + p ? b + p ? с = 3p ? 2p = p):

В условие входит величина 4S, для которой мы и проведем дальнейшие оценки

Выделим в числителе слагаемое 3(а? + b? + с?), а излишек в 2(а? + b? + с?) используем для образования полных квадратов, которые поглотили бы все попарные произведения:

и тем самым неравенство доказано.