Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

10.11. Оценим левую часть неравенства:

(x ? 1)(x ? 3)(x ? 4) (x ? 6) + 10 = (х? ? 7х + 6) (х? ? 7х + 12) + 10 = [(х? ? 7х + 9) ? 3][(х? ? 7х + 9) + 3] + 10 = (х? ? 7х + 9)? ? 9 + 10 = (х? ? 7х + 9)? + 1 ? 1.

10.12. Подставляя в первое уравнение x? вместо yz, преобразуем систему следующим образом:

Числа y и z являются корнями квадратного уравнения относительно u:

u? + (x ? х?) u + x? = 0.

По условию числа x и z действительные. Следовательно, дискриминант 

D = (x ? x?)? ? 4x? = x?(1 ? x?)? ? 4x? = x?[(1 ? x?)? ? 4]

должен быть неотрицательным.

Так как по условию x ? 0, то

(1 ? x?)? ? 4.

Это неравенство может выполняться, если либо 1 ? x? ? ?2, либо 1 ? x? ? 2. Второе неравенство не имеет решений, а из первого получаем x? ? 3, что и требовалось доказать.

10.13. Перепишем данные уравнения в виде откуда

yz = 8 ? x(5 ? x).

Числа y и z будут корнями уравнения

u? ? (5 ? x)u + x? ? 5х + 8 = 0.

Так как y и z должны быть действительными числами, то дискриминант этого уравнения не может стать отрицательным ни при каких значениях x:

(5 ? x)? ? 4(х? ? 5х + 8) ? 0, т. е. ?3x? + 10x ? 7 ? 0,

откуда

1 ? x ? ⁷/₃.

Так как уравнения, которым удовлетворяют x, y и z, симметричны, то аналогичные ограничения получим для y и z:

1 ? y ? ⁷/₃, 1 ? z ? ⁷/₃,

что и требовалось доказать.

10.14. Дискриминант квадратного трехчлена равен 1 ? 4а. Если а < ?, то дискриминант положителен и уравнение ax? + x + 1 = 0 имеет два различных корня:

Когда а > 0, т. е. 0 < а < ?, то получим решения неравенства:

x < x₁, x > x₂.

Когда а < 0, то легко проверить, что x₂ < x₁. Поэтому решения запишутся в виде

x₂ < x < x₁.

Дискриминант отрицателен, когда а > ?, а следовательно, а > 0. Неравенство удовлетворяется при всех x.

Если а = ?, то решения неравенства запишутся в виде x ? ?2.

10.15. Условия задачи выполняются тогда и только тогда, когда интервал 1 < x < 2 будет расположен между корнями параболы, т. е. если

Подставляя значения 1 и 2 в данный трехчлен, получим систему двух квадратных неравенств

Решая первое неравенство, найдем

^{?7 ? 3v5}/₂ ? m ? ^{?7 + 3v5}/₂,

а решая второе, получим

?4 ? 2v3 ? m ? ?4 + 2v3.

Ответ. ??(7 + 3v5) ? m ? ?4 + 2v3.

10.16. Пусть x₁ и x₂ — корни данного трехчлена. Тогда

Если корни x₁ и x₂ действительны, то из первой формулы следует, что они не могут быть оба положительными. Если оба корня отрицательны, то из второй формулы находим а > 0, а следовательно, корни x₁ и x₂ меньше а. Если а = 0, то один из корней равен ?1, и условие задачи снова не выполняется. Таким образом, а < 0. При а < 0 дискриминант 1 ? 4a положителен и оба корня действительные. Потребуем, чтобы меньший из них был больше а, т. е.

Это неравенство эквивалентно такому:

Возведя обе части неравенства в квадрат, мы должны позаботиться о сохранении связей, которые неявно присутствуют в этом неравенстве:

Последнее неравенство выполняется, так как мы установили, что а < 0. Первые два преобразуются к виду

Ответ. а < ?2.

10.17. Так как k ? 0, то ветви параболы направлены вверх. Внутри интервала от ?1 до +1 парабола имеет только один корень тогда и только тогда, когда на концах этого интервала трехчлен имеет разные знаки, т. е.

(k? ? k ? 2)(k? + k ? 2) < 0.

Разлагая каждый из трехчленов на множители, получим