три решения x1, x3, x4 = x5 при а = ?4/9;
четыре решения x1, x3, x4, x5 при ?4/9 < а < ??;
три решения x1, x3 = x4, x5 при а = ??;
два решения x1, x5 при ?? < а < 2;
одно решение x1 при а ? 2.
Замечание: при а = ?2 решений нет, а при а = 2 есть единственное решение x1, которое при а = 2 существует.
9.36. После возведения в квадрат и приведения подобных можно утверждать, что уравнение равносильно системе
Дискриминант уравнения (20) равен 4a? + 12a + 9 = (2a + 3)?. Он неотрицателен. Уравнение имеет один корень x = 3a при а = ?3/2 и два корня x1,2 = 3a ± |2a + 3| при остальных а.
Если а = ?3/2, то x = ?9/2. При этих значениях а и x неравенство (21) удовлетворяется.
Пусть а < ?3/2. Тогда |2a + 3|= ?2a ? 3, т. е. x1 = 5а + 3, x2 = а ? 3. Для каждого из этих корней решим неравенство (21) и учтем ограничение а < ?3/2 . Пусть сначала x1 = 5а + 3, тогда:
Решением последней системы будет а < ?3/2, т. е. корень x1= 5а + 3 существует при всех а < ?3/2.
Пусть теперь x2 = а ? 3, тогда:
Итак, корень x2 = а ? 3 существует при всех а < ?3/2.
Таким образом, при а < ?3/2 исходное уравнение имеет два корня x1 = 5а + 3 и x2 = а ? 3.
Аналогично исследуется случай а < ?3/2. При этом |2a + 3| = 2a + 3 и соответственно x1 = 3a ? (2a + 3); x2 = 3a + (2a + 3) = 5а + 3. Подставляем эти значения в (21). Для x1 = а ? 3 получим:
Аналогично для x2 = 5а + 3 имеем:
Итак, x1 = а ? 3 будет корнем исходного уравнения, когда
?3/2 < а ? 3 и а ? 12.
x2 = 5а + 3 будет корнем, когда ?3/2 < а ? ?12/17; а ? ?51/85.
Обобщим результаты на числовой оси а (рис. P.9.36).
Ответ. При a ? (??, ?3/2) ? (?3/2, ?12/17) ? (?51/85, 3) ? [12, +?) уравнение имеет два корня: x1 = 5а + 3, x2 = а ? 3. При а = ?3 имеет один корень x = 3a = ?9/2. При а ? (?12/17, ?51/85) уравнение имеет один корень x = а ? 3, а при а ? (3, 12) — один корень x = 5а + 3.
9.37. Уравнение можно записать в виде
x(5x/5x? ? 7x + 6 + 2x/5x? ? x + 6 ? 1) = 0.
При x = 0 множитель в скобках существует и равен ?1. Поэтому x = 0 — корень данного уравнения. Другие корни должны быть корнями уравнения
5x/5x? ? 7x + 6 + 2x/5x? ? x + 6 = 1. (22)
В знаменателях стоят симметрические многочлены. Значение x = 0 не является корнем (22) и выражение (22) не теряет при этом значении смысла. Поэтому разделим числители и знаменатели каждой дроби на x:
Проведем замену
t = 5х + 6/x. (23)
Тогда
5/t ? 7 + 2/t ? 1 = 1. (24)
Дальше решение стандартно. Уравнение (24) имеет корни t1 = 13 и t2 = 2. Подставляя их в (23), найдем для t1 значения x2 = 2, x3 = 3/5. Для t2 решений нет.
Ответ. 0; 2; 3/5.
9.38. Пусть x + y = u, xy = v. Тогда получим
Во второе уравнение подставим u? = v + 327:
