Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

т. е.

(а ? x)(b ? x) = x?, или (а + b)x = ab.

Если а + b = 0, но ab ? 0, то последнее уравнение, а следовательно, и данная система не имеют решений.

Если а + b = 0 и ab = 0, то а = b = 0. Написанная в начале решения система принимает вид

откуда y = ?x и y = x одновременно, т. е. при а = b = 0 система имеет единственное решение x = y = 0.

Если а + b ? 0, то x = ^ab/_{a + b}.

Из уравнения  находим y:

т. е.  откуда y = ^{(| a| + |b|)?}/_{4(a + b)}.

Так как а + b стоит в предпоследнем уравнении под радикалом и а + b ? 0, то а + b > 0.

Преобразовывая систему, мы получили уравнение Следовательно, x ? 0, т. е. ab ? 0, а значит, и а ? 0, b ? 0.

Теперь можно записать, что

y = ^{a + b}/₄.

Делаем проверку. Первое уравнение системы после подстановки примет вид

2а ? |а ? b| = а + b.

Если а ? b, то это уравнение удовлетворяется, а если а < b, то получим а = b, что противоречит предположению а < b.

Второе уравнение системы после подстановки дает равенство 2b + | а ? b| = а + b.

При а ? b получаем тождество.

Ответ. Если а ? b ? 0 и а + b > 0, то x = ^ab/_{a + b}, y = ^а + b/₄; если а = b = 0, то x = y = 0.

9.28. Обозначим vу = z. Тогда система перепишется в виде

Дважды возведем первое уравнение в квадрат:  отсюда  далее

4z? = 4х ? 1, или z? = x ? ?.

Заменив  выражением x ? ?, перепишем второе уравнение системы так:

Из последнего уравнения находим z?:

z? = ⁹/₄ ? 3x,

и сравниваем с выражением для z?, полученным из первого уравнения:

x ? ? = ⁹/₄ ? 3x.

Отсюда x = ⁵/₈, а y = z? = ³/₈.

Проверяем найденные значения x и y. Левая часть первого уравнения системы примет вид

Левая часть второго уравнения вычисляется проще:

Ответ. (⁵/₈, ³/₈).

9.29. Способ 1. Так как а и b положительны, то из данных уравнений следует, что x > 0 и y > 0.

Возведем каждое из уравнений в квадрат:

B результате могут быть приобретены только такие посторонние решения, при которых либо x < 0, либо y < 0.

Выражения 1 ? y? и 1 ? x?, как это видно из последней системы, останутся положительными.

Мы получили систему относительно x? = u и y? = v:

Чтобы эта система была равносильна предыдущей (при замене неизвестных равносильность может быть нарушена!), достаточно потребовать выполнения неравенств

u > 0, v > 0.

Раскрыв в последней системе уравнений скобки, получим

Вычитая из первого уравнения второе, найдем

u ? v = а? ? b?,

т. е. u = v + а? ?