Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

b?. Подставим в первое уравнение последней системы, получим квадратное уравнение относительно v:

v? + (а? ? b? ? 1) v + b? = 0,

откуда

Вычисляем u:

(У u и v, входящих в одно решение, берутся одноименные знаки.)

Подкоренное выражение можно преобразовать следующим образом:

(1 ? а? + b?)? ? 4b? = (1 ? а? + b? ? 2b)(1 ? а? + b? + 2b) = [(1 ? b)? ? а?][(1 + b)? ? а?] = (1 ? b ? а)(1 ? b + а)(1 + b ? а)(1 + b + а).

Так как а > b > 0 и а + b < 1, то каждый из четырех множителей положителен и дискриминант тоже положителен.

Если перед корнем выбран знак плюс, то u и v положительны. Докажем, что v > 0. Имеем а? ? b? = (а ? b) (а + b) < а ? b < а ? b + 2b = а + b < 1. Следовательно, 1 ? а? + b? > 0 и, обращаясь к выражению для v, находим, что v > 0. Так как а > b, то очевидно, что и u > 0.

Если перед корнем выбран знак минус, то нужно проверить, что u и v положительны. Так как а > b, то проверку достаточно провести для v, которое меньше u.

Неравенство  очевидно.

Нетрудно проследить, что в процессе решения системы уравнений относительно u и v при условии, что u и v положительны, мы не нарушали равносильности.

Способ 2. Эту систему естественно было бы решать с помощью подстановки x = sin ?, y = sin ?, где 0 < ? < ^?/₂, 0 < ? < ^?/₂. Такая подстановка возможна, поскольку из имеющихся в условии ограничений легко получить, что 0 < x < 1, 0 < y < 1. Получим систему

Складывая и вычитая уравнения этой системы, найдем

Так как по условию 0 < а + b < 1 и 0 < а ? b < 1, а на ? и ? были наложены ограничения 0 < ? < ^?/₂, 0 < ? < ^?/₂, то можно написать

или

Из первой системы получим

Найдем sin ?₁ и sin ?₁:

где ? = arcsin (а + b), ? = arcsin (а ? b). (При выборе знаков перед корнями мы здесь и в дальнейшем принимаем во внимание ограничения на ? и ?: 0 < ? < ^?/₂, 0 < ? < ^?/₂.) Продолжим преобразования:

Нетрудно убедиться в том, что

[1 ? (а + b)?][1 ? (а ? b)?] = (1 ? а? + b?)? ? 4b?.

Аналогично найдем sin ?_1^, а также sin ?₂ и sin ?₂.

Ответ. Если а > b > 0, а + b < 1, то система имеет два решения:

9.30. Наряду с решением x₁, y₁, z₁ система обязательно имеет решение ?х₁, ?у₁, z₁. Поэтому у системы будет единственное решение только в том случае, когда x = y = 0.

Подставляя x = y = 0 в исходную систему, получим

откуда либо а = b = 2, либо а = b = ?2.

Проверим, действительно ли при найденных значениях а и b система имеет единственное решение.

Если а = b = 2, то из первого уравнения находим

xyz = 2 ? z.

Подставляя во второе, получим квадратное уравнение относительно z:

z? ? 3z + 2 = 0,

корни которого z₁ = 1, z₂ = 2.

При z = 1 получим систему

которая, как легко проверить, имеет четыре решения.

Таким образом, значения параметров а = b = 2 не удовлетворяют условию задачи.

Если а = b = ?2, то из первого уравнения найдем

xyz = ?2 ? z.