Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Подставляем во второе:

z? + z ? 2 = 0,

откуда z₁ = ?2, z₂ = 1.

При z = ?2 приходим к системе

имеющей единственное решение x = y = 0. При z = 1 получаем систему

Подставляем во второе уравнение y = ?³/_x и убеждаемся, что уравнение x⁴ ? 3x? + 9 = 0, которое получается в результате, имеет только мнимые корни.

Ответ. a = b = ?2.

9.31. По условию y = ?x. Данные уравнения примут вид

Если а ? ?1, то, найдя x? из первого и второго уравнений, приравняем полученные выражения

?(а + 1) = ¹/_{2 ? a}, т. е. а? ? а = 0,

откуда а = 0 или а = 1.

Условию задачи могут удовлетворить только три значения параметра а:

?1, 0, 1,

которые нужно проверить.

Если а = ?1, то из первого уравнения найдем y = ?x, а из второго уравнения найдем x? = ? и , а следовательно,  Найденные значения неизвестных удовлетворяют и условию x + y = 0.

Если а = 0, то из первого уравнения:  а из второго:  Это значит, что при а = 0 система имеет два решения:

По условию любое решение должно удовлетворять требованию x + y = 0, между тем первое решение этому требованию не удовлетворяет. Значение а = 0 мы должны отбросить.

Осталось рассмотреть случай, когда а = 1. B этом случае получим систему

Так как правые части отличны от нуля, то разделим первое уравнение на второе, откуда x + y = 0. Поскольку условие x + y = 0 теперь автоматически выполняется для любого решения системы, то нужно убедиться, что y этой системы есть хотя бы одно решение. Таким решением является x = 1, y = ?1. (Докажите.)

Ответ. ±1.

9.32. Так как система должна иметь хотя бы одно решение при любом b, то она должна иметь решение и при b = 0. Положив b = 0, получим систему

Первое уравнение удовлетворяется либо при а = 0 и любом x, либо при x = 0. Если x = 0, то из второго уравнения получаем а = 1. Итак, возможны только два значения: а = 0 и а = 1.

При а = 0 получаем систему

Первое уравнение имеет решение при любом b, только если y = 0. Однако это значение y не удовлетворяет второму уравнению.

Остается рассмотреть случай а = 1. Система примет вид

При любом b эта система имеет решение x = y = 0.

Ответ. 1.

9.33. Пусть (х₁, у₁) — решение системы. Тогда второе уравнение удовлетворяется еще тремя парами значений неизвестных (?x₁, y₁), (x₁, ?y₁), (?x₁, ?y₁). Легко убедиться, что первое уравнение наряду с (x₁, y₁) имеет также решение (x₁, ?y₁):

Таким образом, система может иметь единственное решение лишь при условии, что y₁ = ?y₁, т. е. y = 0. Подставим это значение y в систему. Из первого уравнения получим а = 0.

Выясним, достаточно ли условия а = 0 для единственности решения исходной системы. Если а = 0, то x^y = 1, а это означает, что либо x = 1, y — любое число, либо x ? 0 — любое, y = 0. Значения параметра b должны быть такими, чтобы второму уравнению системы удовлетворяло только одно из решений первого. Если y = 0, то второе уравнение имеет единственное решение x = vb (по условию x > 0) при любом b