Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

(327 ? v)? ? v? = 84 693,

или

327? ? 2 · 327v = 84 963.

Так как 84 693 = 327 · 259, то сократим уравнение на 327 и найдем v = 34, u? = 361.

Остается решить две системы:

Ответ. (2, 17), (17, 2), (?2, ?17), (?17, ?2).

Глава 10 Алгебраические неравенства

Ответы к упражнениям на с. 59, 62 и 63.

1. Получим совокупность неравенств, имеющую те же самые решения.

2. Получим систему неравенств, не имеющую решений.

3. Ответ. ?1 < x ? 1, 5 < x ? 7, x > 8.

4. Вначале нужно переписать неравенство в виде

(x ? ⁵/₂)(zx ? 3) (x ? 4)? ? 0.

Последний множитель показывает, что точка 4 обязательно должна принадлежать множеству решений, этим его влияние ограничивается.

Ответ. ⁵/₂ ? x ? 3, x = 4.

5. Поскольку неравенство строгое, то множители, стоящие в знаменателе, и множители, стоящие в числителе, играют одинаковую роль. Данное неравенство равносильно такому:

(x + 3)?(x + 1)(x ? 2) (x ? 4)?(x ? 5) < 0.

Достаточно решить неравенство

(x + 1)(x ? 2)(x ? 5) < 0

и исключить, если они попали в множество решений, точки x = ?3, x = 4.

Ответ. x < ?3, ?3 < x < ?1, 2 < x < 4, 4 < x < 5.

6. 0 ? ax? + bх + с < 9.

7. ax? + bх + с ? 9; здесь не нужно заботиться о знаке подкоренного выражения, так как после возведения в квадрат получаем неравенство, из которого следует, что это выражение положительно.

8.

(см. пример 4 на с. 62).

9. Нужно разобрать два случая в зависимости от знака правой части: если правая часть отрицательна, то неравенство удовлетворяется при всех x, при которых левая часть существует; если правая часть неотрицательна, то обе части неравенства нужно возвести в квадрат (подкоренное выражение при этом не может стать отрицательным):

10.1. Обозначим а = 1 + k. Тогда из условия а + b = 2 получим b = 1 ? k. Вычислим а⁴ + b⁴:

а⁴ + b⁴ = (1 + k)⁴ + (1 ? k)⁴ = 2k⁴ + 12k? + 2 = 2 (k⁴ + 6k? + 1) ? 2,

так как k⁴ + 6k? ? 0 и, следовательно, k⁴ + 6k? + 1 ? 1.

10.2. Обозначим произведение, стоящее в левой части неравенства, через P. Так как а₁а₂ ... а_n = 1, то

(осуществлено почленное деление суммы 1 + а_i на а_i). Поскольку

то P? ? 4ⁿ и, следовательно, P ? 2ⁿ, что и требовалось доказать.

10.3. Способ 1.

Способ 2. Неравенству a^? + b^? > c^? эквивалентно неравенство

(^a/_c)^? + (^b/_c)^? > 1.

Так как b < с и а < с, то основания показательных функций (^a/_c) ^x и (^b/_c) ^x меньше единицы и эти функции убывают. Следовательно,

(^a/_c)^? + (^b/_c)^? > ^a/_c + ^b/_c = 1.

10.4. Данное неравенство можно переписать так:

4x? ? 4x? + 1 ? 0.

Оценим левую часть:

4x?(x ? 1) + 1 = ?4x?(1 ? x) + 1.

Так как 0 ? x ? 1, то x? ? x и 1 ? x ? 0. Следовательно,

?4x?(1 ? x) + 1 ? ?4x(1 ? x) + 1 = (2x ? 1)? ? 0,

что и доказывает наше неравенство.

10.5. Каждый из входящих в неравенство корней оценим следующим образом:

Складывая полученные неравенства, придем к выводу, что

Теперь, чтобы доказать написанное в условии неравенство, остается убедиться, что в последней оценке равенство никогда не достигается. Равенство возможно лишь при одновременном выполнении