Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Способ 2. Запишем систему в виде

и сделаем три парных сложения

Отсюда находим решения:

а) x = y = z = 0;

б)

в) если x = 0, то  y = z = 6;

г) если y = 0, то

д) если z = 0, то

Ответ. (0, 0, 0); (0, 6, 6); (4, 0, 4); (2, 2, 0); ( ⁷/₃, ⁵/₂, ?1).

9.17. Возведем уравнение x + y = ?z в квадрат:

x? + y? + 2ху = z?,

и сравним со вторым уравнением системы; найдем ху = ?10.

Преобразуем сумму x⁴ + y⁴ из третьего уравнения следующим образом:

x⁴ + y⁴ = (x? + y?)? ? 2x?y? = (20 + z?)? ? 200,

где на последнем шаге были использованы второе уравнение системы и найденное значение для ху. Подставив это выражение в третье уравнение системы, получим

z? = 9, т. е. z = ±3.

Остается решить каждую из систем:

Производим проверку.

Ответ. (?2, 5, ?3); (5, ?2, ?3); (2, ?5, 3); (?5, 2, 3).

9.18. Третье уравнение можно записать так:

(x + y)(x? ? ху + y?) + (z ? 1) (z? + z + 1) = 0.

Из первого уравнения мы знаем, что x + y = 1 ? z. Поэтому

(1 ? z)(x? ? ху + y? ? z? ? z ? 1) = 0.

Если z = 1, то x + y = 0. Тогда из второго уравнения получим ху = ?4. B итоге — два решения:

x₁ = 2, y₁ = ?2, z₁ = 1;

x₂ = ?2, y₂ = 2, z₂ = 1.

Если же 1 ? z ? 0, то

x? ? ху + y? ? z? ? z ? 1 = 0. (3)

Чтобы упростить уравнение (3), снова воспользуемся тем, что x + y = 1 ? z, а потому

x? + 2ху + y? = 1 ? 2z + z?. (4)

Вычитая уравнение (4) из уравнения (3), получим

ху = ?z.

Теперь второе уравнение исходной системы

ху + z(x + y) = ?4

можно переписать как уравнение относительно z

?z + z(1 ? z) = ?4.

Решая его, найдем, что либо z = ?2, либо z = 2. B первом случае мы приходим к системе

Во втором случае получаем

После того как были найдены первые два решения, решение системы можно было закончить следующим рассуждением.

Данная система симметрична относительно x, y и z. Поэтому одно ее решение (2, ?2, 1) порождает 3! = 6 решений, получающихся в результате всевозможных перестановок. Таким образом, мы получим шесть различных решений системы.

С другой стороны, можно доказать, что система может иметь не больше решений, чем произведение степеней ее уравнений: 1 · 2 · 3 = 6. Поскольку все шесть решений найдены, решение системы можно считать законченным, если проверить одно из найденных решений.

Ответ. (2, ?2, 1); (?2, 2, 1); (1, 2, ?2); (2, 1, ?2), (?2, 1, 2); (1, ?2, 2).

9.19. Рассмотрим многочлен M(t) = (t ? x)(t ? y)(t ? z) + d. Его корнями по условию являются не совпадающие друг с другом числа а, b и с, следовательно,

M(t) = (t ? а)(t ? b)(t ? с), или (t ? а) (t ? b)(t ? с) ? (t ? x) (t ? y)(t ? z) + d.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t, найдем

x + y + z = а + b + с = u,