Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

?^а/₂, y = ?^b/₂; при а = b ? 0, x = ?^а/₂, ?^а/₂ ? y ? ^а/₂.

9.14. Уравнение x? + y? = а при а < 0 не имеет решений. Если а ? 0, то это — уравнение окружности радиуса va с центром в начале координат. Второе уравнение определяет стороны квадрата, диагонали которого равны 2 и расположены на осях координат (рис. P.9.14).

При увеличении а окружность будет увеличиваться и сначала окажется вписанной в квадрат, затем пересечет его в восьми точках и, наконец, будет описана около квадрата.

Итак, если vа < ^v2/₂, то система не имеет решений.

Если vа = ^v2/₂, т. е. а = ?, получим четыре решения: x = ?, y = ? и три симметричных: (??, ?), (??, ??), (?, ?).

Если ? < а < 1, то восемь решений. Мы найдем их, возведя первое уравнение в квадрат и получив с помощью второго уравнения, что |x| · | y| = ^{1 ? a}/₂. B результате придем к системе

которая при положительных x и y имеет два решения:

К этим решениям нужно добавить шесть симметричных.

Если а = 1, то y системы четыре решения: x₁ = 1, y₁ = 0; x₂ = 0, y₂ = 1; х₃ = ?1, у₃ = 0; х₄ = 0, у₄ = ?1. При а > 1 решений нет.

9.15. Если либо x = 0, либо y = 0, то второе неизвестное тоже равно нулю. Получаем очевидное решение

x₁ = 0, y₁ = 0.

Если ху ? 0, то можно первое уравнение разделить на ху, а второе — на x?y?. Получим систему

Введем обозначения:

x + ¹/_x = u, y + ¹/_y = v.

Возводя каждое из этих равенств в квадрат, получим x? + ¹/_x? = u? ? 2, y? + ¹/_y? = v? ? 2.

Система примет вид

Решая ее, найдем: u₁ = 4, v₁ = 14; u₂ = 14, v₂ = 4. (Если первое уравнение возвести в квадрат и сравнить со вторым, то получим uv = 56.) Остается решить две системы:

в результате чего получим восемь решений.

Ответ. (0, 0); (2 + v3, 7 + 4v3); (2 + v3, 7 ? 4v3); (2 ? v3 , 7 + 4v3 ); (2 ? v3, 7 ? 4v3 ); (7 + 4v3 , 2 + v3); (7 + 4v3, 2 ? v3); (7 ? 4v3, 2 + v3); (7 ? 4v3, 2 ? v3).

9.16. Способ 1. Из первого уравнения находим

y ? z = ху ? x.

Подставляя во второе, получим

xz = 2(x ? ху + x), т. е. xz = 2x(2 ? y).

Если x = 0, то система принимает вид

Получаем два решения системы:

x₁ = 0, y₁ = 0, z₁ = 0;

x₂ = 0, y₂ = 6, z₂ = 6.

Если x ? 0, то z = 2(2 ? y). Подставляем во второе и третье уравнения

Подставим x из первого уравнения во второе:

7у ? 2у? = ?3ху + 9у.

Если y = 0, то получаем еще одно решение:

x₃ = 4, y₃ = 0, z₃ = 4.

Если y ? 0, то 3x ? 2y = 2, откуда x = ^{2(y + 1)}/₃. Подставляем в первое уравнение последней системы уравнение, которое превращается в квадратное относительно y:

2у? ? 9у + 10 = 0,

откуда y₄ = 2, y₅ = 3 . Делаем проверку.