Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

4 ? x? ? 9, или 2 ? |x| ? 3.

Ответ. ?3 ? x ? ?2; 2 ? x ? 3.

9.3. Способ 1. Дополним стоящую слева сумму квадратов до полного квадрата:

(x ? ^3x/_{3 + x})? + ^6x?/_{3 + x} ? 7 = 0,

т. е.

(^x?/_{3 + x})? + 6^x?/_{3 + x} ? 7 = 0,

откуда получаем совокупность уравнений:

^x?/_{3 + x} = ?7, ^x?/_{3 + x} = 1.

Действительных решений y этой совокупности уравнений нет.

Способ 2. Введем новое неизвестное:

^3x/_{3 + x} = u, или 3x = 3u + xu.

Получим систему

Вычитая из первого уравнения удвоенное второе, придем к уравнению относительно x ? u

(x ? u)? + 6(x ? u) ? 7 = 0, откуда следует совокупность двух уравнений:

x ? u = ?7, x ? u = 1.

Решая каждое из этих уравнений, убедимся, что действительных корней нет.

Ответ. Решений нет.

9.4. Возведем данное уравнение в куб:

Стоящий в скобках в левой части уравнения двучлен заменим правой частью данного уравнения и приведем подобные члены:

Такая замена может привести к появлению посторонних корней. B самом деле, при возведении а + b = с в куб мы получаем равенство, справедливое при всех тех же значениях а, b и с, что и данное равенство. После замены же мы получим

а? + b? + 3аbс = с?.

Это равенство удовлетворяется при а = b = 1, с = ?1, в то время как исходное равенство а + b = с при этих значениях букв ложно. Следовательно, мы должны завершить решение проверкой.

Возведем последнее иррациональное уравнение в куб. После сокращения получим

4х(2x ? 3)(x ? 1) = 9 (x ? 1)?.

Один корень этого уравнения x₁ = 1; остается квадратное уравнение

x? ? 6х + 9 = 0, x_2,3 = 3.

Сделав проверку, убеждаемся, что найденные корни подходят.

Ответ. x₁ = 1; x_2,3 = 3.

9.5. Пусть  Придем к системе

Это — симметрическая система, ее обычно решают подстановкой: и + V = в, ии = _. Поэтому преобразуем левую часть первого уравнения:

u⁴ + v⁴ = (u? + v?)? ? 2u?v? = [(u + v)? ? 2uv]? ? 2u?v? = (64 ? 2t)? ? 2t? = 64? ? 256t + 2t?.  

Поскольку все это равно 706, получаем квадратное уравнение

t? ? 128t + 1695 = 0,

откуда

t₁ = 15, t₂ = 113.

Остается решить совокупность двух систем:

Решая первую, найдем v₁ = 3, v₂ = 5, откуда x₁ = 4, x₂ = 548. Вторая не имеет действительных решений.

Проверкой убеждаемся, что найденные корни удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ. x₁ = 4; x₂ = 548.

9.6. Введем новые неизвестные:

Получим систему

Обозначим u + v = p. Так как в силу первого уравнения системы u ? v = 1, то u = ^{p + 1}/₂, v = ^{p ? 1}/₂. Второе уравнение системы примет вид

(^{p + 1}/₂)⁵ ? (^{p ? 1}/₂)⁵ = 31, 

или после очевидных упрощений

р⁴ + 2р? ? 99 = 0.

Это биквадратное уравнение имеет два действительных корня р₁ = ?3, р₂ = 3. Зная р₁ и р₂, найдем u₁ = ?1, u₂ = 2, откуда получим два уравнения для определения значений x:

x? ? 34x + 32 = 0, x? ? 34x + 65 = 0.

Решив эти уравнения, найдем четыре корня.