Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

7—8. Тождество 7 абсолютное. B самом деле, левая часть теряет смысл при cos ^x/₂ = 0. Правая часть может быть записана в виде  т. е. тоже теряет смысл при cos ^x/₂ = 0.

Тождество 8 неабсолютное. Левая часть теряет смысл при cos ^x/₂ = 0, а правая, которая может быть записана в виде  перестает существовать как при cos ^x/₂ = 0, так и при sin ^x/₂ = 0.

9—10. Левую часть равенства 9 можно преобразовать так:

ctg 2x = ^{cos 2x}/_{sin 2x} = ^{cos 2x}/_{2sin x cos x},

а правую записать в виде

Обе части этого равенства перестают существовать одновременно, если либо cos x = 0, либо sin x = 0, следовательно, тождество 9 абсолютное.

Тождество 10 является неабсолютным, поскольку при x = ^?/₂(2n + 1) левая часть равна нулю, а правая теряет смысл.

11—13. Первое из этих трех тождеств неабсолютное, второе и третье — абсолютные.

14—16. Первое и второе тождества неабсолютные, третье — абсолютное.

B самом деле, для первого область определения левой части: x > 0, y > 0; x < 0, y < 0, а область определения правой части: x ? 0; y ? 0. Для второго область определения левой части x ? 0, а область определения правой части x > 0.

Наконец, для третьего x ? 0 для обеих частей тождества.

17. Пусть x = а — корень данного уравнения. Тогда f(а) = ?(а). Поскольку ?(x) существует при всех x, то ? (а) — число; следовательно,

f(a) + ?(а) = ? (а) + ?(а). (1)

Таким образом, x = а — корень уравнения

f(x) + ?(x) = ? (x) + ?(x). (2)

Обратно: если x = а — корень (2), то имеет место равенство (1), а потому x = а — корень уравнения f(x) = ?(x).

Вторую часть теоремы доказывает пример. B самом деле, достаточно рассмотреть два уравнения:

x ? 1 = 0 и x ? 1 + ¹/_{x ? 1} = ¹/_{x ? 1},

первое из которых имеет единственный корень x = 1, а второе вовсе не имеет корней, так как при x = 1 оно теряет смысл.

18. Доказательство аналогично 17. Даже пример можно взять тот же самый.

19—19а. Для доказательства достаточно заметить, что посторонними для данного уравнения могут быть те корни уравнения

f(x) = ?(x),

для которых ?(x) либо не существует, либо обращается в нуль.

20. Если f(а) = ? (а), то [f(а)]? = [? (а)]?. Обратно: из второго равенства следует, что либо f (а) = ?(а), либо f (а) = ??(а).

21. Система равносильна совокупности четырех систем:

22. Доказательство непосредственно следует из свойств пропорций.

9.1. При x < ?2 получим

?x + 2x + 2 ? 3x ? 6 = 0,

т. е. x = ?2, что противоречит предположению. Таким образом, при x < ?2 уравнение не имеет решений.

При ?2 ? x ? ?1 получим x = ?2.

При ?1 < x ? 0 уравнение обращается в ложное числовое равенство 4 = 0. На этом интервале нет решений.

Наконец, при x > 0 получаем x = ?2, что снова противоречит ограничению.

Ответ. x = ?2.

9.2. Пусть x? = y. Тогда

|y ? 9| + |y ? 4| = 5.

Точки y = 4 и y = 9 разбивают числовую ось на три интервала.

Если y < 4, уравнение примет вид

9 ? y + 4 ? y = 5,

откуда y = 4. Это значение не принадлежит выбранному интервалу.

Если 4 ? y ? 9, то знаки абсолютной величины следует раскрыть так:

9 ? y + y ? 4 = 5, т. е. 5 = 5.

Так как уравнение обратилось в верное числовое равенство, то все значения y из интервала 4 ? y ? 8 являются решениями.

При y > 9 получим

y ? 9 + y ? 4 = 5,

т. е. y = 9. Здесь снова нет решений. Вспоминая, что y = x?, запишем