Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

7.14. По условию

24х? + 48х + 26 = (ax + b)? ? (cx + d)?,

т. е. коэффициенты многочленов слева и справа равны. Прежде чем преобразовать правую часть, заметим, что коэффициент при x? равен нулю, т. е. а? ? с? = 0, или а = с. Тогда получим, что

(ax + b)? ? (ax + d)? = 3а?(b ? d)x? + 3а (b? ? d?)x + b? ? d?.

Следовательно,

Из (3): b ? d = ⁸/_a?. Из (4) с учетом (3): b + d = 2а.

Далее найдем:

Подставим выражения для b ? d , b + d и bd в (5):

(так как а > 0).

Соответственно, b = 3, d = 1.

Ответ. 2x + 3; 2x + 1.

Глава 8 Делимость многочленов. Теорема Безу. Целые уравнения

8.1. Положив x ? 5 = y, приведем уравнение к виду

(y + ?)⁴ + (y ? ?)⁴ = 1, или (2у + 1)⁴ + (2у ? 1)⁴ = 16,

откуда после простых преобразований получим

16y⁴ + 24y² ? 7 = 0.

Ответ. x_1,2 = 5 ± i^v7/₂; x₃ = 4,5; x₄ = 5,5. 

8.2. Перемножим попарно первую и третью скобки и две оставшиеся:

(12х? + 11х + 2)(12х? + 11х ? 1) = 4.

Обозначив 12х? + 11х + ? = y, получим

(y + ³/₂)(y ? ³/₂) = 4,

откуда

y₁ = ?⁵/₂, у₂ = ⁵/₂.

Остается решить два квадратных уравнения.

Ответ.

8.3. Запишем уравнение в виде

x? ? 17 = 3y?

и рассмотрим случаи x = 3k, x = 3k ± 1. B первом случае левая часть примет вид 9k? ? 17 и не будет делиться на три. B остальных двух случаях в левой части получим

9k? ± 6k ? 16,

что снова не делится на три. Поскольку правая часть всегда делится на три, то уравнение не имеет целых решений.

8.4. Решим уравнение относительно x:

Так как уравнение имеет действительные корни лишь при

25 ? y? ? 0, т. е. |y| ? 5,

то остается перебрать все целые значения y, для которых  — целое число: y = 0, y = ±3, y = ±4, y = ±5. Для каждого значения y найдем два значения x.

Ответ. (10, 0), (?10, 0); (?1, ?3), (?17, ?3); (1, 3), (17, 3); (?6, ?4), (?18, ?4); (6, 4), (18, 4); (?15, ?5), (15, 5).

8.5. По определению деления имеем тождество

x⁹⁹ + x? + 10х + 5 = Q(x) (x? + 1) + ax + b,

которое справедливо всюду в области комплексных чисел. Так как частное Q (x) нам неизвестно и оно нас не интересует, то в качестве значения x нужно выбрать один из корней выражения x? + 1, например x = i. Подставив x = i, получим

i⁹⁹ + i? + 10i + 5 = аi + b, т. е. 8i + 5 = аi + b,

откуда а = 8, b = 5.

Ответ. 8х + 5.

8.6. Перепишем уравнение в виде

y? ^{2x? + 1}/_{x? + 2} = 6.

Если x? ? 1, то ^{2x? + 1}/_{x? + 2} ? 1. 

Так как x = 0 не является целочисленным решением уравнения, то можно утверждать, что y? ? 6. Остается рассмотреть случаи: y? = 0, y? = 1, y? = 4. Первый и