а? + b? + с? = 3аbс.
Возведем а + b + с = 0 в квадрат
а? + b? + с? = ?2 (ab + ас + bc)
и еще раз возведем в квадрат
а4 + b4 + с4 + 2(а?b? + а?с? + b?с?) = 4 [а?b? + а?с? + b?с? + 2 (а?bc + b?ас + с?ab)].
Поскольку а?bc + b?ас + с?ab = аbс (а + b + с) = 0, то
а4 + b4 + с4 = 2(а?b? + а?с? + b?с?).
Преобразуем левую часть тождества, которое нужно доказать:
а5(b? + с?) + b5(а? + с?) + с5(а? + b?) = а?b?(а? + b?) + а?с? (а? + с?) + b?с?(b? + с?).
Заменим а? + b? на 3аbс ? с? и поступим аналогично с остальными скобками:
что и требовалось доказать.
7.11. Если данное равенство доказано при x ? 0 и любом y, то оно верно для всех x и y. Действительно, пусть x < 0. Тогда левую часть можно записать в виде
|?(x + y)| + |?(x ? y)| = |(?x) ? y)| + | (?x) + y|,
а правую — в виде
Поскольку ?x > 0, то равенство стоящих справа выражений будет доказано.
Итак, пусть x ? 0. Рассмотрим два случая: | y| ? x и | y| > x.
1. x ? 0, |y| ? x, т. е. ?x ? y ? x. Тогда x? ? y? ? 0 и 
— неотрицательное действительное число. Кроме того 
и равенство примет вид
2. x ? 0, |y| > x, т. е. y < ?x или y > x. Левая часть равенства в этом случае равна 2| y| (случаи y < ?x и y > x разберите самостоятельно). Так как |y| > x, то 
следовательно,
Тем самым доказательство тождества закончено.
7.12. Так как обе части равенства неотрицательны, то можно каждую из них возвести в квадрат
Осуществим действия, указанные в скобках, и заметим, что (x + y/2)? ? xy. Получим
x? + 2ху + y?.
Если возвести в квадрат правую часть, то получим
x? + 2|ху| + y?.
Так как по условию ху = |ху|, то равенство доказано.
7.13. Возведем выражение
a? + b? = ?c? (1)
в куб. Получим
a + b + 3a?b? (a? + b?) = ?c. (2)
Подставим (1) в (2):
a + b ? 3a?b?c ? = ?c.
т. е.
a + b + c = 3a?b?c ?,
или
(а + b + с)? = 27аbс.
