Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

несколько труднее. Однако в первую очередь нас интересует, делится ли знаменатель на 1 + x ? x?. Проверяем с помощью деления углом (проделайте это самостоятельно) и убеждаемся, что

x⁴ ? x? ? 2x ? 1 = (1 + x ? x?) (?x? ? x ? 1).

Таким образом,

Ответ.

7.3. Приведем первые два слагаемых к общему знаменателю. Получим

где А и B — соответственно многочлены, входящие множителями в первое и во второе слагаемые.

Раскроем в числителе скобки и приведем подобные. После этого останется

Преобразуем третье слагаемое:

Остается вычесть его из предыдущего результата.

Ответ.  это выражение положительно при x ? 0.

7.4. Домножив дробь на  получим

Остается вычесть 2vb и данное выражение примет вид

Ответ.

7.5. Вынесем за скобки  и воспользуемся выражением x через а: 

Ответ. 0.

7.6. Преобразуем данное выражение:

Так как 1 ? x ? 2, то 0 ? x ? 1 ? 1 и, следовательно,  т. е.  Поэтому

Ответ. 2.

7.7. Так как 9 + 4v2 = (2v2 + 1)?, то

Остается преобразовать

Если догадка, что

43 + 30v2 = 25 + 2 · 5 · 3v2 + 18 = (5 + 3v2)?,

кажется вам неестественной, то воспользуйтесь формулой сложного радикала

Ответ. 5 + 3v2.

7.8. Перепишем данное выражение в виде

(z? ? y?)(xу + zu) + (x? ? u?) (xу + zu) + (y? ? z?)(xz + уu) + (x? ? u?) ? (xz + уu) = (z? ? y?) (xу + zu ? xz ? уu) + (x? ? u?) (xу + zu + xz + уu).

Так как

xу + zu ? xz ? уu = x(y ? z) ? u(y ? z) = (y ? z) (x ? u),

xу + zu + xz + уu = (y + z) (x + u),

то получим

(z ? y)(z + y)(y ? z)(x ? u) + (x ? u) (x + u)(y + z)(x + u) = (x ? u)(y + z)[?(y ? z)? + (x + u)?].

Ответ. (x ? u) (y + z)(x + u ? y + z) (x + u + y ? z).

7.9. Обозначим

Возведем в куб. Получим

Произведение корней преобразуем так:

выражение в скобках равно z. Придем к уравнению

z? ? 5z ? 12 = 0.

Так как z = 3 — корень этого уравнения, в чем убеждаемся проверкой, то преобразуем уравнение к виду

z? ? 9z + 4z ? 12 = 0, или (z ? 3)(z? + 3z + 4) = 0.

Уравнение z? + 3z + 4 = 0 не имеет действительных корней. Следовательно, z = 3, что и требовалось доказать.

7.10. По условию а + b = ?с. Возведем в куб

а? + b? + 3аb (а + b) = ?с?

и заменим а + b на ?с. Получим