Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

таких последовательных чисел будет равна 8, если цифр 9 две, то эта разность будет равна 17, если три, то 26, если их четыре, то 35, если пять — 44 и т. д. Нас может заинтересовать из этих вариантов только число 44, так как разность двух чисел, каждое из которых делится на 11, тоже должна делиться на 11.

Таким образом, в конце меньшего числа должно быть по крайней мере пять цифр 9. Сумма оставшихся цифр должна быть на 1 меньше числа, которое делится на 11. Например, она может быть равна 10, 21, 32 и т. д. Теперь легко привести примеры:

5 599 999 и 5 600 000, 16 399 999 и 16 400 000,

77 799 999 и 77 800 000, 888 899 999 и 888 900 000.

Этого для решения задачи достаточно. Искать все такие пары не требовалось.

6.14. Сделаем подстановку x = ky и разложим квадратный трехчлен относительно k на множители (при x = 0 и при y = 0 целых решений исходное уравнение не имеет):

3x? ? 16xy ? 35y? = y?(?k? ? 16k ? 35) = y?(3k + 5)(k ? 7).

Теперь уравнение можно записать так

y?(3k + 5)(k ? 7) = ?17. (1)

Так как x и y — целые, то k — рациональное число, т. е. k = ^p/_q, где p и q — целые, p ? 0, q ? 0. После подстановки в (1) получим

(^y/_q)? (3p + 5q)(7q ? p) = 17. (2)

Каждый из множителей в левой части (2) — целое число. При этом

(^y/_q)? = 1.

Иначе в правой части было бы два одинаковых целых множителя, отличных от ± 1. Остается рассмотреть варианты:

Вторая и четвертая системы не имеют целых решений. А первая и третья дают нам соответственно p₁ = ?3, q₁ = 2; p₂ = 3, q₂ = ?2.

Поскольку (^y/_q)? = 1, находим два решения системы.

Ответ. (?3, 2), (3, ?2).

6.15. Если x = а, y = b — решение уравнения, то это уравнение имеет еще три решения: (?а, b), (а, ?b), (?а, ?b).

Запишем уравнение в виде (x ? 2y) (x + 2y) = 5? · 9 · 89 и рассмотрим только неотрицательные значения сомножителей: x ? 2y ? 0, x + 2y ? 0. Кроме того, x + 2y ? x ? 2y. Поэтому нужно рассмотреть только системы:

Их решениями будут соответственно:

(10 013, 5006), (3339, 1668), (2005, 1000), (1117, 554), (675, 330), (413, 194), (245, 100), (157, 34).

Каждое из этих восьми решений дает еще 3 решения.

Если решение системы

то решение системы

Таким образом, рассмотрение случая, когда число 3? · 5? · 89 разбивается на два отрицательных целочисленных множителя, к новым решениям не приведет.

Ответ. 32 целочисленных решения.

6.16. Запишем исходное условие в виде

44x ? 11 = 69(y ? x), или 11(4x ? 1) = 69(y ? x).

 Числа 11 и 69 взаимно простые, т. е. не имеют общих натуральных множителей, больших 1. Поэтому число 4x ? 1 кратно 69, а число y ? x кратно 11:

4x ? 1 = 69k, y ? x = 11n,

где k и n — натуральные числа.

Воспользуемся тем, что 69k + 1 = 4x, т. е. левая часть этого равенства делится на 4. Запишем его в виде: 68k + k + 1 = 4x, откуда k = 4m ? 1. B качестве k могут быть использованы числа 3, 7, 11, 15, ... Проверим первое из них, которому соответствует минимально возможное значение x: 68 · 3 + 4 = 4х, т. е. x = 52. Поскольку y = x + 11n, то рассмотрим значения y по мере возрастания n. Минимальное значение y будет соответствовать минимальному значению n. При n = 1 получим y = 63.

Ответ. (52; 63).

Глава 7 Алгебраические преобразования

7.1.

Ответ.

7.2. Перепишем данное выражение так:

Числитель второй дроби теперь легко разложить на множители. Со знаменателем дело обстоит