Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

второй не приводят к действительным значениям x. Для y? = 4 находим x? = 4.

Ответ. (2, 2), (2, ?2); (?2, 2), (?2, ?2).

8.7. Подставим в данное уравнение x = v3 + 1. После простых вычислений и преобразований получим

36 + 10а + 4b + (22 + 6а + 2b)v3 = 0.

Сумма двух чисел, из которых одно рациональное, а другое иррациональное, может равняться нулю, только если оба числа равны нулю:

(1).

Решая эту систему, найдем а = ?4, b = 1. Поскольку уравнение

x⁴ ? 4x? + x? + 6x + 2 = 0

одним из своих корней имеет число v3 + 1, а все коэффициенты уравнения — целые, то следует ожидать, что наряду с этим корнем должен существовать и корень v3 ? 1. Подставим это значение x в уравнение и соберем отдельно рациональные и иррациональные члены. Получим

36 + 10а + 4b ? (22 + 6а + 2b)v3 = 0,

что приводит к той же системе уравнений (1) и имеет место при а = ?4, b = 1. Следовательно, x = 1 ? v3 — второй корень данного в условии уравнения.

Разделив многочлен x⁴ ? 4x? + x? + 6x + 2 на

(x ? v3 ? 1)(x + v3 ? 1) = x? ? 2x ? 2,

получим квадратный трехчлен x? ? 2x ? 1, корнями которого являются числа 1 + v2.

Ответ. x_1,2 = 1 ± v3; x_3,4 = 1 ± v2.

8.8. Из теоремы Виета получаем неравенства:

Добавляем к ним условие неотрицательности дискриминанта:

(а + 1)? ? 4(а + 4) ? 0.

Приходим к системе неравенств

Последнему неравенству удовлетворяют числа а, лежащие вне промежутка между корнями: а ? ?3, а ? 5.

Ответ. ?4 < а ? ?3.

8.9. Пусть х₁, х₁q и х₁q? — корни данного уравнения. По теореме Виета имеем систему

Из этих уравнений нужно исключить x₁ и q. Поскольку из первого уравнения следует х₁(1 + q + q?) = ?а, то второе примет вид

b = х₁?q(1 + q + q?) = x₁q(?а),

т. е. x₁q = ? ^b/_a, откуда

?^b?/_a? = ?c.

Ответ. са?= b?.

8.10. По теореме Виета

Возведем первое уравнение в квадрат:

?₁? + ?₂? + ?₃? + 2(?₁?₂ + ?₁?₃ + ?₂?₃) = 0,

откуда найдем ?₁? + ?₂? + ?₃? . Как видим, последнее уравнение не понадобилось.

Ответ. ?₁? + ?₂? + ?₃? = ?2p.

8.11. Разделив x? + ax + 1 на x ? ?, получим в частном x? + ?x + а + ??, а в остатке ?? + a? + 1. Условия задачи будут выполняться тогда и только тогда, если

?? + a? + 1 = 0,

x? + ?x + а + ?? > 0 при всех x.

Чтобы выполнялось второе условие, дискриминант ?3?? ? 4а должен быть отрицательным, т. е. 3?? + 4а > 0.

Число а не может быть равно нулю, так как уравнение а? + а? + 1 = 0 не удовлетворяется при а = 0. Из первого уравнения a = ?^{1 + ??}/_?. Поэтому должно быть

3?? ? 4^{1 + ??}/_? > 0.

Если ? > 0, то последнее неравенство эквивалентно такому:

3?? ? 4(?? + 1) > 0,

или ??? > 4, y которого нет решений.

Если ? < 0, то получим

3?? ? 4(?? + 1) < 0,

или

Ответ.

8.12. Пусть

P(x) = (x ? 2) (x ? 3) Q(x) + ax + b,

где ax + b — остаток, который надо найти.

По теореме Безу P(2) = 5, а P(3) = 7. Подставим x = 2 и x