Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

= 3 в правую часть написанного выше тождества. Получим систему относительно а и b

откуда а = 2, b = 1.

Ответ. 2x + 1.

8.13. Многочлен x⁴ + 1 делится на x? + рх + q тогда и только тогда, когда

x⁴ + 1 = (x? + ax + b)(x? + рх + q).

Раскрывая в правой части скобки и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получим систему уравнений

Из первого и последнего уравнений находим а = ?p, b = ¹/_q. Подставляя в оставшиеся два уравнения, получим

Второе уравнение можно переписать так: p(q ? ¹/_q) = 0.

Если p = 0, то первое уравнение не имеет действительных решений. Остается q = ¹/_q, т. е. q = ±1. Подставляя найденные значения q в первое уравнение, увидим, что, когда q = 1, р? = 2 и p = ±v2, а когда q = ?1, р? = ?2 и действительных решений нет. Итак, получаем две возможности: либо p = v2 и q = 1, либо p = ?v2 и q = 1.

Чтобы закончить решение, нужно сделать проверку. Можно было бы разделить x⁴ + 1 поочередно на каждый из двух трехчленов: x? + v2 x + 1 и x? ? v2 x + 1. Однако проще убедиться, что

x⁴ + 1 = (x? + v2 x + 1)(x? ? v2 x + 1).

Ответ. р₁ = ? v2, q₁ = 1; р₂ =  v2, q₂ = 1.

8.14. После замены x ? 1 = y получим многочлен

(y + 1)^{2n + 1} ? (2п + 1)(y + 1)^{n + 1} + (2п + 1)(y + 1)ⁿ ? 1,

который должен делиться на y?. Вычислим его коэффициенты при y⁰, y¹ и y².

Свободный член этого многочлена равен

1 ? (2n + 1) + (2n + 1) ? 1 = 0;

коэффициент при y

2n + 1 ? (2n + 1)(n + 1) + (2n + 1)n = 0;

коэффициент при y?

Тем самым утверждение доказано.

8.15. Чтобы данный многочлен делился на x? ? x + q без остатка, должно выполняться тождество

6х⁴ ? 7x? + рх? + 3x + 2 = (x? ? x + q)(6х? + ax + b).

B правой части стоит многочлен

6x⁴ + (а ? 6) x? + (b ? а + 6q)x? + (?b + qа)x + qb.

Так как многочлены равны тождественно, получаем систему

Из первого уравнения а = ?1. Из третьего и четвертого уравнений исключаем b. Приходим к уравнению

q? + 3q + 2 = 0,

откуда

q₁ = ?1, q₂ = ?2.

Сложив второе и третье уравнения, также исключим b:

5q ? 2 = p.

Следовательно,

р₁ = ?7, p₂ = ?12.

Итак, возможны два решения.

Ответ.

Глава 9 Алгебраические уравнения и системы

Ответы к упражнениям на с. 42, 43 и 52.

1. Абсолютное тождество, так как верно при всех без исключения значениях x.

2. Абсолютное тождество. Верно при x ? ^?/₂ + k?. Если же x = ^?/₂ + k?, то обе части теряют смысл.

3. Неабсолютное тождество. Область определения левой части: x ? ^?/₂ + k?, область определения правой части: x ? ^k?/₂.

4—6. Тождество 4 является абсолютным, поскольку это определение секанса. Тождества 5 и 6 неабсолютные, так как правые части определены всегда, в то время как левые могут терять смысл.