Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ответ.

9.7. Введем новые неизвестные:

т. е. u⁴ + v⁴ = а ? b.

Получаем систему

Заменяя во втором уравнении а ? b на u⁴ + v⁴, получим

откуда

u⁵ + v⁵ ? uv⁴ ? и⁴v = 0, где u + v ? 0,

т. е.

u⁴(u ? v) ? v⁴(u ? v) = 0,

а потому

(u ? v)?(u? + v?)(u + v) = 0.

Так как последние два множителя в нуль обратиться не могут, то остается и = v, т. е. а ? x = x ? b, и, следовательно,

x = ^{а + b}/₂.

Проверкой убеждаемся, что это — корень исходного уравнения, если а > b.

Ответ. При а > b имеем x = ^{а + b}/₂.

9.8. Обозначив  получим систему уравнений

Вычитаем из первого уравнения второе:

x + y = (y ? x)(x + y).

Если x + y = 0, то x = y = 0, поскольку и x, и y неотрицательны. Так как  то из x = y = 0 следует, что а = 0. Проверкой убеждаемся, что найден корень данного уравнения.

Если x + y ? 0, то y ? x ? 1 = 0, откуда  и x? + x + 1 ? а = 0. Решая квадратное уравнение, найдем  Остается исследовать, при каких значениях а эти корни вещественны и удовлетворяют исходному уравнению.

Во-первых, необходимо, чтобы дискриминант был неотрицательным, т. е. а ? ? .

Во-вторых, корень данного уравнения не должен быть отрицательным. Один из корней  при всех а ? ? отрицателен, а потому не подходит. Другой корень  больше или равен нулю, если  т. е. а ? 1.

Проверкой убеждаемся, что  удовлетворяет первоначальному уравнению. B самом деле, подставляя x₁ в это уравнение, получим  что выполняется одновременно с равенством  так как x ? 0. Значение х₁ было найдено из уравнения  Поэтому можно осуществить в полученном нами равенстве соответствующую замену:

a ? 1 ? x₁ = x₁?.

Так как в результате мы пришли к уравнению, из которого определили х₁, то проверку можно считать законченной.

Ответ. x = 0, если а = 0, и  если а ? 1.

9.9. Перенесем  в правую часть уравнения:

и возведем обе части в квадрат. Получим

откуда при а ? 0

Делаем проверку, подставляя найденное значение x в данное уравнение. B левой части получим

Чтобы вычислить это выражение, нужно рассмотреть четыре различных случая, так как значения ?1, 0, +1 параметра а разбивают числовую ось на четыре интервала. Однако легко заметить, что а > 0, так как разность, стоящая в левой части исходного уравнения, всегда положительна. Следовательно, остается рассмотреть только два случая.

Если 0 < а ? 1, то

Если же а > 1, то

Число ¹/_а равно числу а только при а = ±1, а по предположению а > 1.

Ответ.  если 0 < а ? 1.

9.10. Рассмотрим два случая.

Если 2x? ? 3x ? 2 ? 0, т. е. x ? ??, x ? 2, получим уравнение

4х? + 5х ? 2(1 + ?) = 0.

Корни этого уравнения  должны лежать вне интервала (??, 2).

Неравенство

удовлетворяется при ? ? ?⁵⁷/₃₂. Больше двух этот корень быть не может.