Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

ху + хz + уz = ab + ас + bc = v,

xyz = аbс + d = w

(справа указаны вводимые нами обозначения).

Поскольку нужно найти сумму x? + y? + z?, выразим ее через u, v и w, осуществив непосредственное возведение в куб суммы x + y + z = u:

u? = x? + y? + z? + 3uv ? 3w    (5)

(необходимые выкладки проведите самостоятельно). Запишем теперь то же соотношение для а + b + с = u и тем самым выразим а? + b? + с? через u, v и w:

u? = а? + b? + с? + 3uv ? 3(w ? d).   (6)

Вычитая из (6) соотношение (5), получим

x? + y? + z? = а? + b? + с? + 3d.

Ответ. а? + b? + с? + 3d.

9.20. Умножив первое уравнение на ху?z?, а второе — на x?уz?, получим y первых двух уравнений равные правые части:

При этом могут быть получены посторонние решения, y которых одно из неизвестных обращается в нуль. Эти решения можно сразу отбросить, так как система в этом случае не удовлетворяется.

Сравним левые части полученных уравнений:

4z(x ? y) = 0.

Так как z ? 0, то x = y. Из третьего уравнения системы получаем тогда z = ¹/_x?. Подставим эти значения y и x в первое уравнение:

4х⁴ + 1 = 0.   (7)

Уравнение (7) не имеет действительных решений.

Ответ. Действительных решений нет.

9.21. Возведя второе уравнение в квадрат, найдем

(x + y)? = ^x?y?/₄.

Подставим в первое уравнение

x⁴ + y⁴ = ¹⁷/₄x?y?, т. е. (x? ? y?)? = ⁹/₄x?y?,

откуда

x? ? y? = ±³/₂ху,

или, воспользовавшись вторым уравнением исходной системы, получим

x? ? y? = ±3(x + y),

откуда

(x + y)(x ? y ± 3) = 0.

Если x + y = 0, то и ху = 0, следовательно,

x₁ = 0, y₁ = 0.

Если x ? y = 3, то, подставляя во второе уравнение данной системы y = x ? 3, придем к уравнению x? ? 7x + 6 = 0, с помощью которого найдем два решения системы:

x₂ = 1, y₂ = ?2;

x₃ = 6, y₃ = 3.

Если же x ? y = ?3, то аналогично получим

x₄ = ?2, y₄ = 1;

x₅ = 3, y₅ = 6.

Производим проверку.

Ответ. (0, 0); (1, ?2); (6, 3); (?2, 1); (3, 6).

9.22. Умножим первое уравнение на t:

хt + уt = t

и вычтем из второго. Аналогично поступим со вторым и третьим уравнениями. Придем к системе, не содержащей y:

B результате могут быть получены посторонние решения, в которых t = 0. Однако решение нашей системы мы закончим проверкой, благодаря которой все посторонние решения будут отсеяны.

Если x = 0, то одновременно 2 ? t = 0 и 5 ? 2t = 0, что невозможно. По аналогичной причине z ? t ? 0, z ? 0.

Поделим теперь второе уравнение последней системы на первое, а третье на второе. Получим

z = ^{5 ? 2t}/_{2 ?}