Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

_t,  z = ^{14 ? 5t}/_{5 ? 2t}.

Приравнивая эти выражения для z, придем к квадратному уравнению относительно t:

t? ? 4t + 3 = 0, т. е. t₁ = 1, t₂ = 3.

Итак, z₁ = 3, z₂ = 1.

Остается определить x и y и сделать проверку.

Система имеет два решения.

Ответ. (?, ?, 3, 1) (?, ?, 1, 3).

9.23. Возведем первое уравнение в квадрат и вычтем из второго уравнения. После упрощения получим

2ху ? 3хz + 6уz = 54.

Третье уравнение позволяет заменить 3xz на 4у?:

2ху ? 4у? + 6уz = 54, или ху ? 2у? + 3уz = 27.  (8)

Вычтем из уравнения (8) первое уравнение системы, умноженное на y[17], получим

y = 3.

Подставим в первое и третье уравнения системы

Решая эту систему, найдем два решения:

x₁ = 3, z₁ = 4; x₂ = 12, z₂ = 1.

Производим проверку.

Ответ. (3, 3, 4); (12, 3, 1).

9.24. Сложив первое уравнение со вторым, первое с третьим и, наконец, второе с третьим, получим систему

Перемножим эти уравнения и обозначим xyz = u:

u? = (u + 2)(u? ? 9),

а после упрощения

2u? ? 9u ? 18 = 0,

откуда u₁ = 6, u₂ = ?³/₂.

Для первого значения u находим x? = 8, y? = 3, z? = 9, аналогично поступаем с u₂. Производим проверку.

Ответ.

9.25. Обозначим x₁ + x₂ + ... + x_n = s. Тогда уравнение, стоящее на месте с номером k, примет вид

x_k(s ? x_k) + k(k + 1) s? = (2k + 1)?а?,

или

x_k? ? sx_k ? k(k + 1)s? + (2k + 1)?a? = 0,

откуда

Возьмем для всех x_k знак минус и составим сумму х₁ + ... + x_n. Получим уравнение относительно в

откуда

Мы взяли перед корнем знак плюс, так как из уравнения для в видно, что s > 0; знаменатель не обращается в нуль ни при каких натуральных h.

Остается подставить найденное значение в в выражение для x_k и сделать проверку.

Ответ.

9.26. Пусть 7x ? 11у = u, т. е. 7(x + y) ? 18у = u, откуда x + y = ^{и + 18y}/₇, а x + 9у = (x + y) + 8у = ^{и + 74y}/₇.

Приходим к системе

Из последней системы исключим y:

Если u = 0, то, как легко видеть, придем к очевидному решению: x₁ = y₁ = 0.

Если u ? 0, то получаем уравнение

откуда u₁ = ?, u₂ =  ??, u₃ = 2, u₄ = ?2.

Для каждого значения u составляем систему 

Делаем проверку.

Ответ. (0, 0); (¹⁰/₂₄₃, ?¹/₂₄₃); (?¹⁰/₂₄₃, ¹/₂₄₃); (5, 3); (?5, ?3).

9.27. Если сложить уравнения системы и вычесть из первого второе, получим систему:

Возведем каждое из уравнений системы (9) в квадрат и вычтем из первого полученного уравнения второе. Получим