Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

(x + 5),   а x? + 7х + 10 = (x + 2) (x + 5),

то данное неравенство можно записать в виде

(x + 5)[(x + 3) · 2^{2 + x} ? (2 + x)] > 0. (5)

При x + 5 = 0 исходное неравенство не удовлетворяется. Поэтому (5) равносильно совокупности двух систем:

Далее придется рассмотреть случаи x + 3 < 0 и x + 3 > 0 (при x + 3 = 0 неравенство (3) удовлетворяется!). Располагая точки x = ?5 и x = ?3 на числовой оси, мы получим три интервала x < ?5; ?5 < x < ?3; x > ?3. Соответственно, приходим к совокупности трех систем неравенств:

Построим графики функций

y₁ = 2^{2 + x}, y₂ = 1 ? ¹/_{x + 3}

(рис. P.10.50).

Просто сослаться на график и указать интервалы решений нельзя. График подскажет, какие сравнения нужно привести для решения неравенства.

При всех x < ?5 получим, что y₂ > 1, а y₁ < 1, т. е. y₁ < y₂: второму неравенству первой системы значения x < ?5 не удовлетворяют.

При ?5 < x < ?3 также y₁ < 1, а y₂ > 1 и снова y₁ < y₂. Однако на этот раз второе неравенство второй системы удовлетворяется.

При x > ?3 второе неравенство третьей системы вновь удовлетворяется. В самом деле, при ?3 < x < ?2, y₁ > 0, а y₂ < 0, т. е. y₁ > y₂. Далее при x ? ?2 имеем у₁ ? 1, 0 < y₂ < 1, т. е. снова у₁ > y₂. Остается вспомнить, что x = ?3 было решением (5).

Ответ. x ? (?5; +?).

10.51. Ясно, что подставлять интересующие нас значения x в данное неравенство и проверять, удовлетворяется ли это, не нужно. Проще это неравенство решить. Так как lg 5 ? ?, то |0,5 ? lg 5| > 0, т. е.

Любое число а ^ 0 можно записать в виде а = | а| sign а, где

— функция, соответствующая знаку числа а. Поэтому из (6) получаем

Определим теперь знак выражения

0,5 ? lg 5 = lg v10 ? lg 5 = lg ^v10/₅ < lg ⁴/₅ < lg 1 = 0.

Следовательно, sign (0,5 ? lg 5) = ?1, т. е. решением неравенства (6) будут значения x ? ?1.

Ответ. ?4, ?1.

10.52. Так как (v5 + 2)(v5 ? 2) = 1, то данное неравенство можно преобразовать к виду

(7)

Знаменатель всегда положителен, если x ? 0. Требование x ? 0 сохраняется, если существует числитель. Поэтому (7) равносильно неравенству

(v5 ? 2) ^{x + vx ? 6} ? 1. (8)

Поскольку 0 < v5 ? 2 < 1, то (8) равносильно неравенству

x + vx ? 6 ? 0. (9)

Трехчлен y? + y ? 6 (где y = vx) имеет корни ?3 и 2. Поэтому решением неравенства

y? + y ? 6 ? 0

будет совокупность значений y ? ?3, y ? 2. У неравенства vx ? ?3 решений нет. Остается vx ? 2, т. е. x ? 4.

Ответ. [4, +?).

10.53. Обозначим log₂x = y и запишем неравенство в виде

1 + y? ? |y| (4x ? x? ? 2),

или

1 + y? ? |y| [?(x? ? 4x + 4) + 2],

т. е.

1 ? 2|y| + |y?| ? |y| (?x? + 4x ? 4).

Итак,

(1 ? |y|)? ? ?|y|(x ? 2) ?.

Неравенство удовлетворяется только в том случае, если обе его части равны нулю. Это может быть только при |y| = 1, тогда (x ? 2)? ? 0, т. е. x = 2.

Ответ. 2.

Глава 11 Логарифмические и показательные уравнения и системы

11.1.

11.2. Так как 1225 = 35?, то

lg 122,5 = lg 35? ? lg 10 = 2(lg 5 + lg 7) ? 1 = 2(а + b) ? 1.

11.3. Перепишем уравнение в виде