Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

задачи, нужно знать производительность одного комбайна. Однако нам неизвестно, сколько часов перед завершением работы по плану все комбайны работали вместе. Поскольку удобнее вводить одноименные неизвестные, то эту величину обозначим через y, а через x обозначим количество часов, необходимых одному комбайну, чтобы убрать весь урожай. Тогда производительность комбайна будет равна ¹/_x.

19.14. Пусть братьям а, аq и аq? лет. Если младший получит x рублей, то остальные два получат xq и xq? рублей. Условия задачи позволяют составить три уравнения.

19.15. После того как числа, о которых говорится в задаче, будут обозначены буквами а, b и с и условия задачи будут переведены на математический язык, мы получим два уравнения с тремя неизвестными. Достаточно ли этого, чтобы решить задачу?

19.16. Воспользоваться методом математической индукции, что позволит доказать формулы для а_n и b_n.

19.17. Решив данное тригонометрическое уравнение, получим две серии углов, каждая из которых является арифметической прогрессией с известной разностью и первым членом, равным нулю. В каком случае две арифметические прогрессии могут быть объединены в одну?

K главе 20

20.1. Данное неравенство эквивалентно такому:

¹/_2? + ... + ¹/_n? < 1.

Оценить каждое слагаемое так, чтобы легко было оценить всю сумму, стоящую слева.

20.2. Домножить все члены на d.

20.3. Чтобы разложить дробь  на простейшие, можно начать с разложения дроби , а результат умножить на .

20.4. Слева стоит сумма членов геометрической прогрессии.

20.5. Выписать все коэффициенты многочлена 1 + x + 2x? + ... + nxⁿ и под ними написать коэффициенты того же многочлена, записанные в обратном порядке. Рассмотреть сумму произведений стоящих друг под другом чисел.

20.6. В левой части неравенства стоит абсолютная величина суммы членов бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем ?2x.

20.7. Каждое слагаемое k · k! можно представить в виде (k + 1)k! ? k(k ? 1)!. При этом следует иметь в виду, что 0! = 1. (!)

20.8. Коэффициенты в правой части образуют арифметическую прогрессию с разностью 3. Если домножить S_n на x?, то справа получим сумму, все члены которой, кроме крайних, имеют коэффициент, отличающийся от подобного коэффициента S_n на 3.

20.9. Рассмотреть тождество

(x + 1)⁵ = x⁵ + 5x⁴ + 10x? + 10x? + 5x + 1

и положить в нем последовательно x = 1, 2, ..., n.

20.10. В n-й группе n членов. Рассмотрите отдельно случаи, когда n четное и n нечетное.

20.11. Удобнее найти 2S_n sin ^?/_2n.

20.12. Можно разбить эту сумму на 1 00 сумм:

каждая из которых является суммой членов геометрической прогрессии. Однако попытайтесь решить эту задачу проще, обозначив искомую сумму через в и осуществив над ней некоторое несложное преобразование.

20.13. Общий член ряда имеет вид  Чтобы воспользоваться формулой геометрической прогрессии, нужно избавиться от 2 n в числителе. Чтобы понять, как это лучше сделать, запишите рядом два соседних члена ряда.

K главе 21

21.1. Если все, сидящие за круглым столом, одновременно сдвинуться на один стул в одном направлении, то у каждого останутся те же самые соседи.

21.2. Представить искомое число в виде разности числа всех перестановок из пяти элементов и перестановок, не удовлетворяющих условиям задачи.

21.3. Три разряда каждого числа должны быть заняты двойками. В оставшиеся четыре разряда можно поместить любые из восьми цифр, что даст 8⁴ вариантов.

21.4. Задачу следует начать решать в предположении, что есть разные цифры l₁, l₂ и l₃, которые входят в каждое число, а остальные пять цифр равноправны.

21.5. Легче найти число всевозможных размещений экскурсантов по каютам в предположении, что каюты неравноценны. Пусть таких размещений будет N, а размещений, о которых идет речь в задаче, K. Поскольку из каждого размещения экскурсантов по равноценным каютам можно получить 8! размещений по неравноценным каютам, то K · 8! = N.

21.6. В записи k-го члена суммы произвести сокращение на k.

21.7. Нужно найти такие n, для которых равенство

выполняется при некотором k.

21.8. Представить а + b + с + d в виде (а + b) + (с + d) и осуществить возведение в n-ю степень по правилам возведения в степень двучлена.

21.9. Коэффициент при x^k будет равен числу членов, содержащих x^k при почленном перемножении двух одинаковых многочленов. Придется различать случай, когда члены, содержащие x^k, могут быть получены в результате умножения друг на друга членов суммы 1 + x + x? + ... + x^{k ? 1} + x^k