Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

С₁ОА₁. Остается углы А₁ОВ₁, В₁ОС₁ и С₁ОА₁ выразить через углы треугольника АВС.

1.6. Из данного соотношения между площадями треугольников АDС и АВD, имеющих общую сторону АD и одинаковые углы при вершине А (поскольку АD — биссектриса треугольника АВС), можно найти отношение сторон AC : AB. Далее применить теорему синусов.

1.7. Площадь треугольника САD (D — точка пересечения биссектрисы внешнего угла А треугольника АВС с продолжением стороны СВ) можно вычислить двумя способами, используя лишь элементы, участвующие в задаче.

1.8. Сумма двух сторон треугольника, не лежащих против угла А, участвует в выражении площади через полупериметр и радиус вписанной окружности и в выражении через биссектрису и синус половинного угла. Из этих двух выражений сумму b + с нужно исключить.

1.9. Отношение отрезков АО и ОМ дано. Эти отрезки можно рассматривать как отрезки, на которые сторона AM треугольника АВМ делится биссектрисой ВО. В результате мы перейдем к отношению отрезков AB и ВМ, последний из которых легко выражается через стороны данного треугольника.

Аналогично нужно поступить с отношением отрезков ВО и ON.

1.10. Угол РМА равен углу QОА (рис. II.1.10). Чтобы найти МР, нужно рассмотреть сначала треугольник РМА, а затем треугольник ОАQ.

1.11. С помощью первого указания можно получить одно уравнение, связывающее углы данного треугольника. Ко второму уравнению нас приведет условие, в силу которого высота ВQ треугольника АВС (рис. II.1.11) в 6 раз больше высоты ОQ треугольника АОС. Достаточно выразить АQ из треугольников АВQ и АОQ, заметив при этом, что угол ОАQ является дополнительным для угла С.

1.12. После того как получено соотношение

^h/_{sin C} + ^h/_sin B = k

использовать условие, согласно которому В ? С = ^?/₂, с тем, чтобы получить уравнение относительно одной тригонометрической функции неизвестного угла С. Для достижения этой цели можно, например, в написанное выше соотношение подставить В = ^?/₂ + С. После этого полученное соотношение удобно возвести в квадрат.

1.13. Способ 1. Через x, y и z можно выразить площадь треугольника:

ха + yb + zc = 2S.

Еще три соотношения, в которых участвуют x, y и z, получим, если выразим каждый из отрезков АО, ВО и СО из двух прилегающих к нему треугольников.

Способ 2. Связать отрезки l, m и n удобно с помощью теоремы косинусов для каждого из трех треугольников АОВ, АОС и ВОС, сумма площадей которых равна площади треугольника АВС.

1.14. Остается использовать условие, что А ? В = ?. С помощью формул преобразования произведения тригонометрических функций в сумму придем к тригонометрическому уравнению относительно ^{A + B}/₂.

1.15. Площадь треугольника АВС, которую мы временно обозначим через S, равна

S =  ?ah_a = ?bh_b.

Кроме того, S выражается через а, b, l и sin ^C/₂ , если треугольник АВС разделить биссектрисой СD на два треугольника.

1.16. Для нахождения угла СОВ следует использовать тот факт, что центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис. Для этого нужно выразить ? СОВ через сумму ? ОСВ + ? ОВС.

1.17. Так как по условию стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию, то обозначим их длины через а, а + d, а + 2d и постараемся связать радиус вписанной окружности с длинами сторон. На рисунке треугольник удобно расположить так, чтобы средняя по длине сторона оказалась его основанием.

С помощью сравнения площадей легко выразить высоту треугольника через радиус вписанной окружности. Этот факт будет полезен для исследования образовавшихся подобных треугольников.

1.18. Заметить, что проекция отрезка АО (О — центр вписанной окружности) на сторону b равна p ? а.

1.19. Чтобы доказать, что треугольники АВС и OKL подобны, достаточно установить равенство их углов. Так как углы треугольника АВС легко выражаются через угол С, то и углы треугольника OLK тоже следует постараться выразить через тот же угол С. Начать удобно с угла KOL, который равен углу АОВ.

1.20. Чтобы связать стороны треугольника и его углы, удобно воспользоваться теоремой синусов; так как соотношение, которое нужно доказать, однородно, линейные элементы сократятся.

1.21. Если через одну из вершин треугольника АВС провести отрезок, параллельный противоположной стороне треугольника до пересечения с данной в условии прямой, то получим нужные подобные треугольники.

1.22. Если в треугольнике АВС провести высоту АЕ, то получим три прямоугольных треугольника; с помощью теоремы Пифагора АВ?, АС? и АD? можно выразить