Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

через АЕ и отрезки, лежащие на BC.

1.23. Если AC — основание треугольника, то дополнительное построение удобно выполнить так: через вершины А и С провести прямые, параллельные ВQ, а отрезки СR и АР продолжить до пересечения с этими прямыми. В результате возникнут все необходимые для решения подобные треугольники.

1.25. В качестве неподвижного радиуса удобно выбрать АО. Сумму квадратов расстояний выразить через радиус R описанной около треугольника окружности и угол ?.

1.26. Две стороны треугольника и угол между ними известны. Третью сторону можно найти по теореме косинусов, а радиус описанной окружности — по теореме синусов.

1.27. Выразить cos А и cos С через стороны треугольника и сравнить cos 2С с cos А, имея в виду данное в условии соотношение: а? = с (b + с).

1.30. Сделать это можно так: ВЕ будет стороной, соответствующей О₁Е, а через точку E нужно будет провести прямую, параллельную KO₂, и отложить на ней отрезок, равный KO₂.

1.31. Достроить треугольник АВС до параллелограмма так, чтобы сторона AB была диагональю этого параллелограмма, а через вершину В провести ВD₁ ? АD. Рассматривая треугольник МDС и подобный ему треугольник с вершинами в точках В и С, найдем отношение, в котором точка M делит отрезок АD.

1.32. Чтобы выразить все участвующие в формулировке задачи величины через R и синусы соответствующих углов, нужно ввести углы так, как это показано на рис. II. 1.32, и затем воспользоваться теоремой синусов.

1.33. При продолжении боковой стороны трапеции и указанного в условии отрезка до их пересечения получаются подобные треугольники. Это позволяет выписать соответствующую пропорцию и составить из нее производную пропорцию.

1.34. Чтобы использовать условие AN : NB = 1 : 2, можно отметить на рисунке точку пересечения прямой с продолжением одной из сторон квадрата или провести через точку N прямую, параллельную BC.

1.35. Чтобы составить уравнение относительно x, удобно выразить через x отрезок АЕ один раз с помощью квадрата, а другой раз с помощью треугольника.

1.36. Чтобы связать треугольник и трапецию с окружностью, естественно провести радиусы в вершины обеих фигур. K этим радиусам прилегают прямоугольные треугольники. Выясните, какие из них равны. (!!)

Углы NOE и OAD (рис. II.1.36) можно выразить через угол а и убедиться в том, что они равны.

1.38. Выразить через R и n периметры первого и второго многоугольников и сравнить с периметром третьего многоугольника.

1.39. Величину R можно вычислить, построив треугольник, в котором все стороны выражаются через R и известные величины. В качестве такого треугольника удобно выбрать треугольник ОМО₁, где О₁ — центр рассматриваемой в задаче окружности.

1.40. Ввести в рассмотрение угол ADC (обозначить его через ?) и равный ему угол BEC. Найти tg ?.

1.41. Чтобы применить к треугольнику AOO₁ теорему косинусов, придется использовать угол ? между хордой AB и диаметром, исходящим из точки А. Косинус и синус этого угла легко выразить через b и r.

1.42. Чтобы использовать условие задачи, нужно соединить центр окружностей с концами и серединами хорд, являющихся сторонами квадрата. При решении следует помнить, что возможны два варианта взаимного расположения квадрата и центра окружностей: либо центр лежит внутри квадрата, либо вне его.

1.43. Чтобы составить уравнение относительно x, рассмотрите треугольник ОЕС, в котором все стороны можно выразить через R и x.

1.44. Ввести обозначения R, r и x, где x — расстояние между проекциями центров на нижнее основание. Составить уравнения, используя условия задачи и теорему Пифагора.

1.45. Чтобы доказать, что фигуры СQNK и ОQR равновелики, достаточно доказать, что равновелики секторы COQ и KDN. Для этого следует выяснить связь между радиусами большей и меньшей окружностей.

1.46. Пусть K — проекция точки O на AB. Отрезок OK можно вычислить двумя способами: из треугольника OAK и из треугольника OKP₁.

1.47. Так как хорды пересекаются внутри окружности, то естественно воспользоваться равенством произведений отрезков, на которые каждая хорда делится точкой пересечения.

1.48. Чтобы связать x и R, а именно это требуется в условии задачи, нужно опустить из центра О₂ перпендикуляры O₂D и О₂С на радиусы OA и ОВ соответственно.

Рассмотреть треугольник О₂СО₁. Выразить О₂С через x и R, используя тот факт, что угол ОАВ = 45°.

1.49. Угол АМС равен ? ? 2?. Если МВ = МС = рx, то AC можно выразить из треугольников АМС и АВС. Приравняв эти выражения, получим уравнение относительно x.

1.50. Если стороны треугольника а, а ? d, а + d, то его полупериметр p = ^3a/₂ . Из формулы Герона получим уравнение относительно а: