Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

при x = ?5 не удовлетворяется. Остается рассмотреть случаи x + 5 < 0 и x + 5 > 0. Далее удобно рассмотреть и случаи x + 3 < 0 и x + 3 > 0 (x + 3 = 0 тоже не является решением неравенства). (!!)

Решить неравенства

удобнее, изобразив графически функции, стоящие в левой и правой частях этих неравенств.

10.52. Данное неравенство можно преобразовать к виду:

или

10.53. Левую часть неравенства следует преобразовать к виду

1 ? |у|?.

K главе 11

11.1. Остается заметить, что lg 2 + lg 5 = 1.

11.3. Привести уравнение к равенству степеней с одинаковыми показателями.

11.4. Обратить внимание на тот факт, что поскольку у = 3^{?|x ? 2|}, то 0 < у ? 1.

11.7. Если обе части уравнения разделить на 2 + v3, то придем к квадратному уравнению относительно у = (2 + v3)^{x? ? 2x}.

11.8. Совсем нетрудно найти один корень уравнения. Затем нужно попытаться доказать, что других решений нет. (!!)

Корнем будет x = 2. Докажите, что других корней нет, используя монотонность показательной функции.

11.10. Левую часть выразить через у = log₃ (3^x ? 1).

11.11. Можно обозначить log_x 7 = у, но удобнее использовать другое обозначение. Какое — станет ясно, если дополнить правую часть до полного квадрата (суммы или разности?).

11.14. Когда мы заменим log_x 4 · log₄ x единицей, получим уравнение, которое может иметь посторонний корень x = 1. Поскольку в дальнейшем нам придется потенцировать, что снова может повлечь приобретение посторонних корней, решение необходимо закончить проверкой.

11.15. При переходе к логарифмам с основанием x мы можем потерять корень. Какой?

11.16. Чтобы воспользоваться формулой модуля перехода, нужно умножить обе части уравнения на log₂ (3 + x).

11.17. Если умножить уравнение на выражение, стоящее в знаменателе, то нужно потребовать, чтобы последнее не обращалось в нуль, т. е. |x? + x ? 1| ? 1. При потенцировании же появится еще одно ограничение.

11.18. Теперь с помощью тождества, эквивалентного определению логарифма, данное уравнение можно свести к квадратному относительно x^{log_b a}.

11.19. Нужно помнить, что vc? = | с|, и разобрать несколько случаев, предварительно оценив из условия log_а x и а. Для оценки а удобно воспользоваться неравенством t + ¹/_t ? 2 при t > 0.

11.20. Первое из уравнений, полученных после логарифмирования, разделить на второе и затем произвести потенцирование.

11.21. Нужно заметить, что 243 = 3⁵, 1024 = 2¹⁰. Теперь из второго уравнения системы с помощью первого нетрудно получить уравнение относительно (?) ^y.

11.22. Для того чтобы найти ⁴vx + vу, можно второе уравнение возвести в степень ³/₂ и полученное выражение использовать для подстановки в первое уравнение системы.

11.23. Выразить 11^xz, 11^z и 11^{(x ? 1) z} через  и подставить в тождество, записанное в первом указании (см. с. 146).

11.24. Если в левой части второго уравнения вынести за скобки 2^{x + 2у}, то в скобках останется выражение, аналогичное левой части первого уравнения. Его можно заменить числом 2.

11.25. Здесь удобно не заботиться о равносильности, а каждый раз получать следствия. Алгебраическая система, которая будет получена, легко сводится к уравнению относительно u = ^у/_x. Для этого нужно будет почленно перемножить входящие в нее уравнения.

11.26. При преобразовании выражений, входящих в первое уравнение (после подстановки), нужно будет воспользоваться определением логарифма.

11.27. Так как xy = 3, то либо x, либо у больше единицы. Мы убедились, что x и у положительны. Следовательно,

x + y > 1   и   |log₂ (x + у)| = log₂ (x + у).

Остается рассмотреть два случая в зависимости от знака log₂ (x ? у).

11.29. Воспользоваться математической записью определения логарифма: а^log_ab = b.

11.30. Определив x, следует использовать его для упрощения третьего уравнения системы. Если третье уравнение преобразовать в алгебраическое, то посмотрите, что при этом может произойти — потеря или приобретение корней.

K главе 12

12.2. Доказательство следует начать с очевидного тождества

tg [(30° ? ?) + (60° ? ?)] = ctg 2?.

12.3. Воспользоваться тем, что