Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

2АМ · МС cos (? ? 2?) = x? (q? + р? + 2 pq cos 2?),

а из треугольника ABC по теореме синусов

AC = 2R sin ^?/₂ ? ? = 2R cos ?,

т. е.

АС? = 4R? cos? ?.

Приравнивая найденные выражения для АС?, получим

Площадь треугольника ABC будем искать в виде S = ?AN · BC. Так как МВ = px, а МА = qx, то AB = (p + q) x. Из треугольника ABN находим AN = AB cos ? = (p + q) x cos ?. Сторону BC можно определить из треугольника MBF в котором сторона BF = ?BC:

BC = 2BF = 2MB sin ? = 2px sin ?.

Таким образом, S = p(p + q)x? sin ? cos ? = ? p (p + q)x? sin 2?, откуда

Ответ.

1.50. Стороны треугольника по условию равны а ? d, а, а + d, где через а мы обозначили длину средней стороны. Тогда полупериметр p = ^3a/₂ и из формулы Герона получим уравнение относительно а:

Введем новую переменную . Тогда получим

откуда

Далее найдем

Поскольку R = ^abc/_4S, то в нашем случае

Ответ.

1.51. Проведем PP₁ || AC и QQ₁ || AC (рис. P.1.51).

Пусть P₂ — точка пересечения PP₁ с BR, а Q₂ — точка пересечения QQ₁ с BR. По условию P — середина AB. Следовательно, Р₁ — середина BC, а Р₂ — середина BR. Аналогично Q — середина P₁B (так как по условию QB = ^BC/₄), Q₁ — середина PB, Q₂ — середина BP₂. Из подобия треугольников P₂TP и Q₂TQ (у них равны углы) следует, что P₂T : TQ₂ = PP₂ : QQ₂. Так как P₂P₁ = 4P₂P, а , то QQ₂ = 2P₂P. Поэтому P₂T : TQ₂ = 1 : 2, а значит, и PT : TQ = 1 : 2.

Ответ. B отношении 1 : 2.

1.52. Способ 1. Соединим точки P и T (рис. P.1.52, а).

Пусть QN = RL = а, QT = m, TL = n, RT = l, TN = k. Обозначим треугольники, полученные из треугольника PQR: треугольник LTR — цифрой 1, треугольник RTQ — цифрой 2, треугольник QTN — цифрой 3, треугольник NTP — цифрой 4, треугольник PTL — цифрой 5, а их площади или площади образовавшихся из них фигур буквой S с соответствующими индексами.

Треугольники 1 и 1 + 5 имеют общую высоту. Аналогично треугольники 3 и 4. Поэтому

S₁ : S_{1 + 5} = а : PR, S₃ : S₄ = а : PN,

откуда

(7)

B треугольниках 1 и 3 углы при вершине T равны как вертикальные, т. е. S₁ : S₃ = (nl) : (mk). У треугольников 4 и 1 + 5 общая высота, соответствующая вершине P, т. е. S₄ : S_{1 + 5} = k : l. Остается найти PN