Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

опираются на общую дугу CQ, причем один из них вписан в окружность, а другой является центральным. Следовательно, если угол CDQ равен ?, то угол COQ равен 2?. Теперь мы можем вычислить площади секторов COQ и KDN:

Таким образом, S_COQ = S_KND. Тем самым доказано, что S_CKNQ = S_QOD. Поскольку треугольники QOD и Q₁OD равновелики (у них общее основание и общая высота), то

Аналогично доказывается равенство , что и завершает доказательство для случая, когда точки P и Q лежат по разные стороны от CD.

Если точки P и Q лежат по одну сторону от диаметра (рис. P.1.45, б), то решение не меняется. Только в конце найденные площади придется не складывать, а вычитать.

1.46. Из треугольника OAK (рис. P.1.46)

OK? = R? ? (^AB/₂)?.

Так как KP₁ = AP₁ ? ^AB/₂, то из треугольника OKP₁

По условию OP₁ = MP₁. Приравнивая два полученных выражения для OK? и заменяя ОР₁ на МР₁, найдем

Нам нужно вычислить длину отрезка MP. Чтобы воспользоваться прямоугольным треугольником MPP₁, в котором мы знаем длину МР₁, нужно вычислить PP₁. Так как треугольник APB прямоугольный, то  Теперь можно вычислить и МР:

Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим MP? = R?.

Ответ. R.

1.47. Из треугольника AOC (рис. P.1.47) легко найти AC = ^4R/₅. Так как AC · СВ = МС · CN, то

откуда x = ^2R/₁₅.

Проведем перпендикуляр OD к хорде MN. Так как MD = ^13x/₂, то

CD = MD ? МС = ^5x/₂ = ^R/₃.

Косинус угла OCD равен синусу искомого угла NCB:

^CD/_OC = ^R/₃ : ^3R/₅ = ⁵/₉.

Ответ. arcsin ⁵/₉.

1.48. Соединим центры О₂ и O₁ рассматриваемых окружностей. Отрезок O₁О₂  равен x + ^R/₂ (рис. P.1.48).

Центр О₂ лежит на биссектрисе угла OAB, равного 45°. Поэтому угол DAO₂ равен ^45°/₂. Это позволяет выразить через R и x отрезок DO:

DO = R ? AD = R ? x ctg ^45°/₂ = R ? x ^{1 + cos 45°}/_{sin 45°} = R ? x(v2 + 1).

Так как CO₁ = ^R/₂ ? x, O₂С = DO = R ? x(v2 + 1), а O₁O₂ = x + ^R/₂, то по теореме Пифагора для треугольника O₂CO₁ получим

(^R/₂ ? x)? + [R ? x(v2 + 1)]? = (^R/₂ + x)?,

или после преобразований

[R ? x(v2 + 1)]? = 2Rx,

т. е.

Получили квадратное уравнение относительно vx. Решая его, найдем

Так как  то

 (Второе значение vx не имеет смысла.)

Ответ. x = (3 ? 2v2)R.

1.49. Соединим точки M и C (рис. P.1.49).

Так как диаметр ED перпендикулярен к BC, то точка N делит хорду BC пополам. Это означает, что треугольник МСВ равнобедренный. Обозначим МВ = МС = px. Угол АМС равен удвоенному углу МBC, т. е. ? ? 2?. Из треугольника АМС по теореме косинусов имеем

AC? = АМ? + МС? ?