Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Чтобы применить к этому треугольнику теорему косинусов, обозначим угол BAD через ?. Из треугольника ABD:

Следовательно, по теореме косинусов для треугольника АОО₁:

Раскроем скобки и воспользуемся формулой косинуса суммы. После упрощения получим искомый радиус.

Ответ.

1.42. Обозначим сторону квадрата через а. Тогда (см. рис. P.1.42)

Перед корнем выбраны два знака, так как искомый квадрат может быть расположен либо так, как показано на рис. P.1.42, а, либо так, как показано на рис. P.1.42, б. B первом случае нужно взять знак плюс, а во втором — минус.

С другой стороны, из треугольника OBD находим  Получаем уравнение

После простых преобразований и повторного возведения в квадрат получаем уравнение

2a⁴ ? 2a?(R? + r?) + (R? ? r?)? = 0,

в котором исчезло различие между случаями, изображенными на рис. P.1.42, а, б. Из последнего уравнения имеем

или

Из первого выражения для а? видно, что оба значения положительны, если неотрицательно подкоренное выражение. Так как по условию R > r, то получаем

и окончательно

Ответ.

Задача имеет решение при 1 < ^R/_r ? 1 + v2. Если же ^R/_r = 1 + v2, то задача имеет единственное решение

1.43. Так как OE? = R? ? x? и OF = ^R/₂ (рис. P.1.43), то  С другой стороны, EF = 2x. Получаем уравнение

R? ? x? = (^R/₂ + 2x)?,

решая которое найдем половину стороны  квадрата x = ³/₂ .

Ответ. 3.

1.44. Введем обозначения, указанные на рис. P.1.44. Так как меньшая окружность вписана в угол ADC, то ее центр О₁ лежит на биссектрисе этого угла.

Из треугольника ОО₁F имеем ОО?₁ = OF? + FO?₁, т. е.

(R + r)? = (R ? r)? + x?. (4)

Из треугольника АВН: АН = ВН ctg ? = R ctg ?, т. е.

а = 2R + 2Rctg ?. (5)

Из треугольника O₁GD:

r = (^a/₂ ? x)tg ^?/₂.    (6)

Из уравнения (4) находим 4Rr = x?, или 2vR vr = x, и подставляем в уравнение (6). Получим

2r + 4vR vr tg ^?/₂ ? a tg ^?/₂ = 0,

или, проще,

2 ctg ^?/₂r + 4vR vr ? a = 0.

Мы пока не будем выражать R через а и ?, а, наоборот, заменим а его выражением через R и ?. Это удобнее, так как квадратное уравнение таково, что впоследствии vR можно будет вынести за скобки:

Знак минус перед корнем не имеет геометрического смысла. Если в подкоренном выражении воспользоваться формулой котангенса двойного угла, то

Следовательно,

Итак,

Ответ.

1.45. Рассмотрим вначале случай, когда диаметр CD разбивает фигуру PQNM на две части. Докажем, что фигуры CQNK и OQ₁D равновелики (рис. P.1.45, а). Имеем

S_CKNQ = S_CDQ ? S_KND,

где S_CDQ = S_COQ + S_QOD.

Итак, S_CKNQ = S_COQ + S_QOD ? S_KND.

Если радиус меньшей окружности равен r, то радиус большей равен rv2. Углы CDQ и COQ