Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ответ. 2v3 ? ⁹/₄ .

1.36. Углы при нижнем основании трапеции и основании треугольника равны. Обозначим их через ?. Тогда угол BAO равен углу ABO, т. е. равен 90° ? ? (рис. P.1.36). Поэтому угол OAD равен 2? ? 90°. Так как треугольник MNO равнобедренный (MO = NO), то угол MNO равен ?, а угол NOE равен 90° ? (180° ? 2?), т. е. равен 2? ? 90°.

Треугольники ONE и AOD равны (по гипотенузе и острому углу). Следовательно, OE = AD. Кроме того, MO = OB, как два радиуса, и NE = OD, как стороны равных треугольников. Это означает, что BD = l.

По условию AD · BD = S, следовательно, OE = AD = ^S/_l.

Ответ. ^S/_l.

1.37. Из подобия треугольников AOD и BOC (рис. P.1.37) находим, что ^MO/_NO = p, т. е. ^MN/_NO = p + 1.

Отношение площадей трапеции и треугольника AOD можно записать в виде

Ответ. (p + 1)?.

1.38. Пусть R — радиус окружности, n — число сторон первого многоугольника, x — периметр третьего.

Периметры первого и второго многоугольников равны соответственно

Периметр третьего равен

Сравнивая первые два выражения, найдем, что 1 ? tg?^?/_2n = ^b/_a. Следовательно,

Ответ.

1.39. Если точки О и M расположены так, как показано на рис. Р.1.39, а, то NM > KL, так как хорда NM ближе к центру окружности. Но NM < а, а KL = 2а. Получаем а < 2а, что невозможно. Следовательно, фигуры расположены так, как показано на рис. Р.1.39, б.

Центр рассматриваемой окружности лежит на биссектрисе угла AOB, так как точка О₁ равноудалена от лучей AO и OB.

Предположим для определенности, что угол ? больше угла ?. Треугольник OMO₁, в котором сторона OM равна а, сторона MO₁ равна R, а ОО₁ легко выражается через R, позволяет составить уравнение для определения R. B самом деле, угол MOO₁ равен ? ? ^{? + ?}/₂ = ^{? ? ?}/₂. Следовательно, по теореме косинусов

R? = а? + ОО₁? ? 2а · ОО₁ · cos ^{? ? ?}/₂.

Из треугольника О₁ОВ находим

а так как  то

После подстановки уравнение относительно R выглядит следующим образом:

Заменим  на  и после несложный упрощений

получим

откуда

Ответ.

1.40. Запишем отношение площадей данных прямоугольных треугольников (рис. P.1.40):

Кроме того, AD · AB = AE · AC. Найдем отсюда AO и подставим в предыдущее равенство; получим

Обозначим углы ADC и AEB, опирающиеся на дугу BC, через ?:

Следовательно, дуга BC равна

Угол А прямой и измеряется полуразностью высекаемых им на окружности дуг (2? ? ?DE) и BC:

^?/₂ = ^{(2? ? ?DE) ? ?BC}/₂, т.E. ^?/₂ = ? (?DE + ?BC).

Отсюда найдем величину дуги DE, которая равна 

Ответ.

1.41. Введем обозначения, указанные на рис. P.1.41. B треугольнике AOO₁: