колебаний. Нередко в них проглядывает фрактальный характер.
7.9.2. Фазовый портрет на плоскости
Функция odeplot позволяет получать не только графики временных зависимостей, но и фазовые портреты колебаний. Рисунок 7.31 показывает построение фазового портрета в плоскости (x, y).
Рис. 7.31. Фазовый портрет колебаний на плоскости (х, у)
Нетрудно заметить, что фазовый портрет отчетливо выделяет два фокуса, которые соответствуют слабым осцилляциям нарастающих почти гармонических колебаний, время от времени повторяющимся. В целом же фазовый портрет колебаний оказывается довольно запутанным и хорошо иллюстрирует развитие нестационарных компонент колебаний.
7.9.3. Фазовые портреты в пространстве
Можно разнообразить представления о колебаниях, перейдя к построению трехмерных (пространственных) фазовых портретов. Они делают такое представление более полным. На рис. 7.32 представлен фазовый портрет в пространстве при параметрическом задании семейства функций [x(t), y(t), z(t)].
Рис. 7.32. Фазовый портрет колебаний в пространстве
Фазовый портрет отчетливо выявляет, что большая часть колебаний развивается в двух плоскостях пространства, причем в каждой из них имеется свой фокус.
Еще один вариант пространственного фазового портрета показан на рис. 7.33. Он хорошо представляет динамику развития колебаний в плоскости (у, z) при изменении времени
Рис. 7.33. Фазовый портрет колебаний в пространстве [t, y(t), z(t)]
Остается отметить, что для повышения наглядности переходных процессов в графиках рис. 7.32 и 7.33 используется вывод осей координат в виде «ящика» (опция axes=BOX) и поворот изображения с помощью мыши.
7.9.4. Распространение волн в нелинейной среде
Многие наяву или в кино видели, как большие волны воды в море или океане теряют свой гармонический характер. Их гребни, расположенные в воздухе, явно движется быстрее, чем впадины, в результате во времени гребень достигает предшествующей ему впадины и может даже перегнать ее. Радиотехники давно научились использовать распространение волн в нелинейных средах для получения очень коротких перепадов напряжения или тока.
Моделирование этого сложного явления (обострения фронта волн и потеря ими устойчивости) достаточно просто осуществляется волновым дифференциальным уравнением в частных производных Бюргерса. Рисунок 7.34 показывает пример задания и решения этого уравнения.
Рис. 7.34. Моделирование процесса распространения волн в нелинейной среде
Здесь поначалу задана синусоидальная волна, которая хорошо видна на переднем плане рисунка для малых времен t. Представление результата моделирования в трехмерном пространстве позволяет наглядно представить, как меняется форма волны во времени. Нетрудно заметить, что фронт волны и впрямь обостряется и может даже приобрести отрицательный наклон.
7.10. Интерактивное решение дифференциальных уравнений
7.10.1. Новые средства интерактивного решения дифференциальных уравнений
Поскольку Maple университетская система, разработчики новых версий Maple предприняли большие усилия в повышении степени визуализации всех стадий решения дифференциальных уравнений. В частности были введены новые средства решения дифференциальных уравнений в интерактивном режиме, при котором каждая стадия решения наглядно отображается в соответствующем окне. Это едва ли нужно инженерам и научным работникам, понимающим суть и стадии решения, но, безусловно, полезно преподавателям и студентам высших учебных заведений.
Новые средства решения дифференциальных уравнений представляют собой ряд окон, созданных средствами пакета расширения Maplets. Каждое окно содержит поля для представления уравнений или параметров, там где это надо поля для представления графиков и кнопки управления. Довольно подробное описание процесса интерактивного решения дифференциальных уравнений дано в разделе ODE Analyzer справки. Доступ к нему представлен на рис. 7.35.
Рис. 7.35. Окно справки по разделу ODE Analyzer
7.10.2. Примеры интерактивного решения дифференциальных уравнений
Для интерактивного решения дифференциальных уравнений используется функция dsolve в следующей записи:
dsolve[interactive](odesys, options)
Здесь указание [interactive] задает вывод первого окна с записью дифференциальных уравнений, представленных параметром odesys и необходимыми опциями options. Примеры применения функции dsolve уже неоднократно приводились.
На рис. 7.35 в центре видно окно с записью дифференциальных уравнений, начальных условий для его решения и значениями параметров. Предусмотрено редактирование как самой системы, так и начальных условий и параметров. Для этого достаточно активизировать кнопку Edit в соответствующей части окна. Примеры редактирования можно найти в справке, они просты и наглядны, а потому детали описания редактирования опускаются.
Внизу окна имеется две кнопки:
