Введем круговую частоту
> omega := 2*Pi*f;
Найдем в аналитическом виде коэффициент передачи фильтра и его фазочастотную характеристику как функции от частоты:
> gain := abs(evalc(Vo/Vi));
> phase := evalc(op(2,convert(Vo/Vi,polar)));
Эти выражения, несмотря на простоту схемы усилителя, выглядят довольно сложно, что, однако, ничуть не мешает использовать их для выполнения расчетов. Зададим конкретные значения параметров:
> R3 := 1000:
> R4 := 3000:
> C3 := 0.08*10^(-6):
> С4 := 0.01*10^(-6):
Построим АЧХ фильтра как зависимость коэффициента передачи в децибелах (dB) от частоты f в Гц:
> plot([log10(f), 20*logl0(gain), f=10..50000],
color=black, title=`Коэффициент передачи dB как функция от логарифма частоты f в Гц`);
Эта характеристика представлена на рис. 11.31. Здесь полезно обратить внимание на то, что спад усиления на низких и высоких частотах происходит довольно медленно из-за малого порядка фильтра.
Рис. 11.31. АЧХ фильтра на операционном усилителе
Далее построим фазочастотную характеристику фильтра как зависимость фазы в радианах от частоты f в Гц:
> plot([log10(f), phase, f=10..50000], color=black, title= `Фаза в радианах как функция логарифма частоты`);
Фазочастотная характеристика (ФЧХ) фильтра показана на рис. 11.32.
Рис. 11.32. ФЧХ фильтра на операционном усилителе
На ФЧХ фильтра можно заметить характерный разрыв, связанный с превышением фазовым углом граничного значения π. Такой способ представления фазового сдвига общепринят, поскольку его изменения стремятся вписать в диапазон от -π до π.
11.3.4. Проектирование цифрового фильтра
Основной недостаток аналоговых активных фильтров, подобных описанному выше, заключается в их малом порядке. Его повышение, за счет применения многих звеньев низкого порядка, ведет к значительному повышению габаритов фильтров и их стоимости. От этого недостатка свободны современные цифровые фильтры, число ячеек которых N даже при однокристальном исполнении может достигать десятков и сотен. Это обеспечивает повышенную частотную селекцию.
Спроектируем фильтр
Каждая из
Подключим пакет расширения plots, нужный для графической визуализации проектирования:
> restart:with(plots):
Warning, the name changecoords has been redefined
Зададим исходные данные для проектирования полосового цифрового фильтра, выделяющего пятую гармонику из входного сигнала в виде зашумленного меандра с частотой 500 Гц:
> N := 64: # Число секций фильтра (на 1 меньше порядка фильтра)
> fs := 10000: # Частота квантования
> fl := 2300: # Нижняя граничная частота
> fh := 2700: # Верхняя граничная частота
> m := 10: # 2^m > N - число точек для анализа
Вычислим:
> Т := 2^m-1;
> F1 : = evalf(fl/fs);
> F2 := evalf(fh/fs);
> Dirac(0) := 1: # Функция Дирака
> fp1:=2*Pi*F1: fp2:=2*Pi*F2:
Зададим характеристику полосового фильтра:
> g : = (sin(t*fp2)-sin(t*fp1))/(t*Pi);
Вычислим FIR коэффициенты для прямоугольного окна фильтра
> С := (n) -> limit(g,t=n): h := aray(0..N): N2:=N/2:
> for n from 0 to N2 do h[N2-n]:= evalf(C(n)); n[N2+n] :=
h[M2-n]; od:
Определим массивы входного x(n) и выходного y(n) сигналов:
> х := array(-N..Т): y:= array(0..T):
Установим значение x(n) равным 0 для времени меньше 0 и 1 для времени
> for n from -M to -1 do x[n] := 0; od:
> for n from 0 to T do x[n] := Dirac(n); od:
Вычислим временную зависимость для выходного сигнала.
> for n from 0 to Т do y[n] := sum(h[k]*x[n-k], k=0..N); od:
Построим график импульсной характеристики фильтра, отражающей его реакцию на сигнал единичной площади с бесконечно малым временем действия:
> р := [seq{[j/fs, y[j]], j=0..Т)]:
> plot(р, time=0..3*N/fs, labels=[time,output], axes=boxed,
xtickmarks=4, title=`Импульсная характеристика фильтра`, color=black);
Он показан на рис. 11.33. Нетрудно заметить, что эта характеристика свидетельствует об узкополосности фильтра, поскольку его частоты fl и fh различаются не сильно. В этом случае полосовой фильтр по своим свойствам приближается к резонансному, хотя само по себе явление резонанса не используется.
Рис. 11.33. Импульсная характеристика цифрового фильтра
