5.15. Если Иr — количество оснований истинности предложения 'r', а Иrs — количество тех оснований истинности предложения 's', которые одновременно являются основаниями истинности 'r', то мы назовем отношение Иrs: Иr мерой вероятности, которую предложение 'r' дает предложению 's'.
5.151. Пусть в схеме, подобной той, которая приведена выше за № 5.101, Иr — количество 'И' в предложении 'r'; Иrs — количество тех 'И' в предложении s, которые стоят в одинаковых столбцах с 'И' предложения r. Тогда предложение ' r ' дает предложению 's' вероятность Иrs: Иr.
5.1511. Нет никакого особого объекта, свойственного вероятностным предложениям.
5.152. Предложения, которые не имеют общих друг с другом аргументов истинности, мы называем независимыми друг от друга.
Два элементарных предложения дают друг другу вероятность 1/2.
Если р следует из q, то предложение q дает предложению 'р' вероятность 1. Достоверность логического вывода есть предельный случай вероятности.
(Применение к тавтологии и противоречию.)
5.153. Предложение само по себе ни вероятно, ни невероятно. Событие наступает или не наступает; среднего не дано.
5.154. В урне было одинаковое количество белых и черных шаров (и только их). Я вытаскиваю один шар за другим и кладу их в урну обратно. Тогда я могу установить опытом, что число вынутых черных и белых шаров приближается друг к другу при постоянном вынимании.
Это, следовательно, не математический факт.
Если я теперь говорю: одинаково вероятно, что я вытяну — как белый шар, так и черный, то это означает: все известные мне обстоятельства (включая и гипотетически принимаемые естественные законы) придают наступлению одного события не больше вероятности, чем наступлению другого. Это означает, что они дают — как легко понять из вышеприведенных разъяснений — каждому событию вероятность, равную 1/2.
Проверить я могу только то, что наступление этих двух событий не зависит от обстоятельств, которых я не знаю более подробно.
5.155. Единица вероятностного предложения такова: обстоятельства — о которых я больше ничего не знаю — дают наступлению определенного события такую-то и такую-то степень вероятности.
5.156. Таким образом, вероятность есть обобщение. Она включает общее описание формы предложения. Только за неимением достоверности мы нуждаемся в вероятности. Когда мы знаем факт не полностью, но, однако, знаем что-то о его форме.
(Хотя предложение, действительно, может быть не полным образом определенного положения вещей, но оно всегда какой-нибудь полный образ.)
Вероятностное предложение является как бы извлечением из других предложений.
5.2. Структуры предложения стоят друг к другу во внутренних отношениях.
5.21. Мы можем подчеркнуть эти внутренние отношения в нашем способе выражения, изображая предложение как результат операции, которая образует его из других предложений (оснований операций).
5.22. Операция есть выражение отношения между структурами их результатов и их оснований.
5.23. Операция есть то, что должно произойти с предложением, чтобы образовать из него другие.
5.231. И это, естественно, зависит от их формальных свойств, от внутреннего подобия их форм.
5.232. Внутреннее отношение, упорядочивающее ряд, эквивалентно операции, благодаря которой один член возникает из другого.
5.233. Операция впервые может выступать там, где одно предложение возникает из другого логически значимым способом, т. е. там, где начинается логическая конструкция предложения.
5.234. Функции истинности элементарных предложений являются результатами операций, которые имеют своими основаниями элементарные предложения. (Эти операции я называю операциями истинности.)
5.2341. Смысл функции истинности р есть функция смысла р.
Отрицание, логическое сложение, логическое умножение и т. д. — суть операции.
(Отрицание делает противоположным смысл предложения.)
5.24. Операция проявляется в переменной; она показывает, как из одной формы предложения можно получить другую.
Она дает выражение различию форм.
И общим между основаниями и результатом операции как раз и являются сами основания.
5.241. Операция характеризует не форму, а только различие форм.
5.242. Та же самая операция, которая выводит 'q' из 'p', выводит из 'q' из 'p' и так далее. Это может быть выражено только тем, что 'р', 'q', 'r' и т. д. Являются переменными, которые дают общее выражение определенным формальным отношениям.
5.25. Наличие операции не характеризует смысла предложения.
Операция ведь ничего не утверждает, утверждает только ее результат, а это зависит от оснований операции.
(Операцию и функцию не следует путать друг с другом.)
5.251. Функция не может быть своим собственным аргументом, а результат операции может быть ее собственным основанием.
5.252. Только так возможен переход от члена к члену в формальном ряду (от типа к типу в иерархии Рассела и Уайтхеда). (Рассел и Уайтхед не признавали возможности этого перехода, но всегда его употребляли.)
5.2521. Повторное применение операции к своему собственному результату я называю ее последовательным применением ('0' 0' 0', а') есть результат трехразового последовательного применения '0' ' к 'а').
В подобном же смысле я говорю о последовательном применении многих операций к определенному количеству предложений.
5.2522. Общий член формального ряда а, О', а, О' О' а… я пишу поэтому так: '[а, x, О', х]'. Это выражение в скобках есть переменная. Первый член выражения в скобках есть начало формального ряда, второй — форма произвольного члена х ряда и третий — форма того члена ряда, который непосредственно следует за х.
5.2523. Понятие последовательного применения операции эквивалентно понятию 'и так далее'.
5.253. Одна операция может аннулировать результат другой. Операции могут друг друга аннулировать.
5.254. Операция может исчезать (например, отрицание в '~ ~ p'. ~ ~ р=р).
5.3. Все предложения представляют результат операций — истинности с элементарными предложениями.
Операция истинности есть способ возникновения функции истинности из элементарных предложений.
5.31. Схемы № 4.31 имеют значение также тогда, когда 'р', 'q', 'r' и т. д. не являются элементарными предложениями.
И легко увидеть, что пропозициональный знак в № 4.42 выражает одну функцию истинности элементарных предложений, даже если 'р' и 'q' являются функциями истинности элементарных предложений.
5.32. Все функции истинности являются результатами последовательного применения конечного количества операций истинности к элементарным предложениям.
5.4. Здесь становится ясным, что нет 'логических объектов', 'логических констант' (в смысле Фреге и Рассела).
