5.41. Ибо все те результаты операций истинности над функциями истинности, которые являются одной и той же функцией истинности элементарных предложений, тождественны.
5.42. Очевидно, что V, E и т. д. не являются отношениями в смысле правого и левого.
Возможность перекрестного определения логических 'первичных знаков' Фреге и Рассела уже показывает, что они не являются 'первичными знаками' и не обозначают никаких отношений.
И очевидно, что 'E', которое мы определяем через '~' и 'V' тождественно тому, посредством чего мы определяем '/' с помощью '~', и что это 'V' тождественно с первым, и так далее.
5.43. Заранее, однако, довольно трудно поверить в то, что из факта р должно следовать бесконечно много других фактов, а именно ~ ~ р, ~ ~ ~ ~р и т. д. И не менее удивительно, что бесконечное количество предложений логики (математики) следует из полдюжины 'исходных предложений'.
Но все предложения логики говорят одно и то же. А именно ничего.
5.44. Функции истинности не являются материальными функциями.
Если можно, например, получить утверждение через двойное отрицание, то содержится ли тогда отрицание в каком-либо смысле — в утверждении?
Отрицает ли '~~р' ~р или оно утверждает р? Или то и другое?
Предложение '~ р' не трактует отрицание как объект; возможность отрицания, пожалуй, предрешается уже в утверждении.
И если бы существовал объект, называемый '~', то '~~р' должно было бы говорить нечто другое, чем 'р'.
Так как одно предложение говорило бы о ~, другое — нет.
5.441. Это исчезновение мнимых логических констант выступает и в том случае, если '~($ х). ~fx' говорит то же самое, что и '(х). fx, или если '~($ х). ~fxх = a' говорит то же самое, что и 'fа'.
5.442. Если нам дано предложение, то вместе с ним уже даны результаты всех операций истинности, основанием которых оно является.
5.45. Если есть логические первичные знаки, то правильная логика должна уяснить их место по отношению друг к другу и оправдать их существование. Конструкция логики из ее первичных знаков должна стать ясной.
5.451. Если логика имеет исходные понятия, то они должны быть независимыми друг от друга. Если введено исходное понятие, то оно должно быть введено во всех связях, в которых оно вообще имеет место. Следовательно, нельзя вводить понятие сначала для одной связи, а потом для другой. Например: если введено отрицание, то мы должны его понимать в предложениях формы '~ p' так же, как в предложениях вида — ~ p V q)', '($ х). ~fx ' и других. Мы не можем вводить его сначала для одного класса случаев, потом для другого, потому что тогда оставалось бы сомнительным, является ли его значение в обоих случаях одинаковым, и не было бы основания для употребления в обоих случаях одного и того же способа символизации.
(Короче, для введения первичных знаков имеет значение mutatis mutandis, то же самое, что Фреге в работе 'Основные законы арифметики' говорил относительно введения знаков через определения.)
5.452. Введение нового знака в символизм логики должно быть всегда чревато последствиями. Ни один новый знак не должен вводиться в логике — так сказать, с совершенно невинной миной — в скобках или в сноске.
(Так, в 'Principia Mathematical Рассела и Уайтхеда встречаются словесные определения и исходные предложения. Почему здесь внезапно появляются слова? Это нуждается в оправдании. Но оправдания нет и не может быть, так как этот процесс фактически не дозволен.)
Но если введение нового знака является необходимо доказанным в каком-либо месте, то должны тотчас же спросить: где должен этот знак постоянно применяться? Отныне его место в логике должно быть выяснено.
5.453. Все числа в логике должны допускать оправдание.
Или — скорее — должно выявиться, что в логике нет никаких чисел.
Нет никаких привилегированных чисел.
5.454. В логике нет соседства, нельзя дать никакой классификации.
В логике не может быть более общего и более особенного.
5.4541. Решения логических проблем должны быть простыми, так как они устанавливают стандарт простоты.
Люди всегда догадывались, что должна быть дана область вопросов, ответы на которые априори симметричны и объединяются в законченные регулярные структуры.
5.46. Если логические знаки вводятся правильно, то тем самым вводится смысл всех их комбинаций, следовательно, не только 'pVq', но также и '~(pV~q)' и т. д. Тем самым вводится результат всех возможных комбинаций скобок. И благодари этому становится ясным, что собственно общими первичными знаками являются не 'p/q', ($ х) f(x)' и т. д., а самая общая форма их комбинаций.
5.461. Большое значение имеет тот кажущийся неважным факт, что логические псевдоотношения, как V и E, нуждаются в скобках, в отличие от действительных отношений.
Употребление, скобок при этих псевдопервичных знаках уже указывает на то, что они не являются в действительности первичными знаками. Все-таки, по-видимому, никто не верит, что скобки имеют самостоятельное значение.
5.4611. Логические знаки операций являются пунктуациями.
5.47. Ясно, что все то, что может быть сказано заранее о форме всех предложений вообще, может быть сказано за один раз.
Ведь все логические операции уже содержатся в элементарном предложении. Потому что 'о' говорит то же самое, что и '($ х)fх.х. == а'.
Где есть композиция, там есть аргумент и функция, а где есть они, там есть уже все логические константы.
Можно было бы сказать: одна логическая константа есть то, что все предложения, по своей природе, имеют общим друг с другом.
Но это есть общая форма предложения.
5.471. Общая форма предложения есть сущность предложения.
5.4711. Дать сущность предложения значит дать сущность всех описаний, следовательно, дать сущность мира.
5.472. Описание самой общей формы предложения есть описание одного и единственного общего первичного знака в логике.
5.473. Логика должна сама о себе заботиться. Возможный знак тоже должен быть способен обозначать.
Все то, что в логике возможно, является также дозволенным. ('Сократ тождествен' ничего не означает потому, что нет свойства, называемого 'тождественный'. Предложение бессмысленно потому, что мы не дали некоторого произвольного определения, а не потому, что символ сам по себе не дозволен.)
В некотором смысле мы не можем делать ошибок в логике.
5.4731. Самоочевидность, о которой так много говорил Рассел, в логике может стать лишней только благодаря тому, что язык сам предотвращает каждую логическую ошибку. Априорность логики заключается в том, что нельзя нелогически мыслить.
5.4732. Мы не можем дать знаку неправильный смысл.
5.47321. 'Бритва' Оккама не является, конечно, произвольным правилом или правилом, оправданным своим практическим успехом: она просто говорит, что не необходимый элемент символики ничего не значит.
Знаки, служащие для одной цели, логически эквивалентны; знаки, не служащие ни для какой цели, логически незначимы.
5.4733. Фреге говорит: каждое законно образованное предложение должно иметь некоторый смысл; и я говорю: каждое возможное предложение образовано законно, и если оно не имеет смысла, то это может быть только потому, что мы не дали некоторым его составным частям никакого значения…
5.474. Количество необходимых основных операций зависит только от нашего способа
