Канат иллюстрирует, что измерения – независимые направления, в которых что-либо может двигаться, – выступают в двух качественно различающихся вариантах. Они могут быть большими и легко видимыми, как размерность поверхности каната влево/вправо, или они могут быть маленькими и более трудно различимыми, как размерность по/против часовой стрелки, которая закручена вокруг поверхности каната. В этом примере не является большой проблемой увидеть малый циклический пояс на поверхности каната. Все, что нам нужно было, это подходящий увеличительный инструмент. Но, как вы можете представить, чем меньше скрученное измерение, тем более трудно его будет обнаружить. На расстоянии нескольких миль сложность для обнаружения циклического измерения поверхности каната одна; она будет в некоторой степени другая для обнаружения циклического измерения чего-либо столь же тонкого, как зубная нить или узкое нервное волокно.
Вклад Кляйна заключался в указании, что то, что справедливо для объекта внутри вселенной, может быть справедливо и для ткани самой вселенной. А именно, точно так, как поверхность каната имеет как большое, так и маленькое измерение, так же может быть и у ткани пространства. Может быть, что три известных всем нам измерения – влево/вправо, назад/вперед, вверх/вниз – подобны горизонтальному протяжению каната, большим измерениям, легко видимой их разновидности. Но точно так же, как поверхность каната имеет дополнительное, маленькое, скрученное, циклическое измерение, может быть, что ткань пространства также имеет маленькое, скрученное, циклическое измерение, настолько малое, что никто не имеет достаточно мощного увеличительного оборудования, чтобы обнаружить его существование. Вследствие его ничтожного размера, утверждал Кляйн, это измерение будет скрытым.
Насколько мало малое? Ну, включив определенные свойства квантовой механики в оригинальное предположение Калуцы, математический анализ Кляйна открыл, что радиус дополнительного циклического пространственного измерения, вероятно, будет порядка планковской длины[16], что определенно слишком мало для экспериментальной доступности (самое совершенное современное оборудование не может разрешить что-либо меньшее, чем тысячная часть размера атомных ядер, не достигая планковской длины более чем на фактор в миллион миллиардов). Однако, для воображаемого червяка планковского размера это мельчайшее скрученное циклическое измерение обеспечит новое направление, в котором он может странствовать точно так же свободно, как обычный червяк преодолевает циклическое измерение каната на Рис. 12.5. Конечно, точно так же, как обычный червяк находит, что там не так много места для исследований в направлении по часовой стрелке, прежде чем он окажется в своей стартовой точке, червяк планковской длины, ползущий вдоль скрученного измерения пространства, также будет постоянно возвращаться назад в свою стартовую точку. Но, оставив в стороне длину предпринятого им путешествия, скрученное измерение будет обеспечивать направление, в котором маленький червяк может двигаться так же легко, как он это делает в трех привычных развернутых измерениях.
Чтобы почувствовать интуитивный смысл того, на что это похоже, отметим, что то, на что мы ссылались как на скрученное измерение каната, – направление по/против часовой стрелки, – существует в каждой точке вдоль его протяженного измерения. Земной червяк может ползти вдоль циклического обода каната в любой точке вдоль его протяженной длины, так что поверхность каната может быть описана как имеющая одно длинное измерение с маленьким, циклическим измерением, прикрепленным к каждой точке, как на Рис. 12.6. Этот образ полезно иметь в уме, поскольку он также применим к предложению Кляйна для скрытого дополнительного пространственного измерения Калуцы.
Чтобы увидеть это, изучим еще раз ткань пространства путем последовательного показа его структуры на все меньших масштабах длины, как на Рис. 12.7. При первых нескольких уровнях увеличения ничего нового не обнаруживается: ткань пространства все еще выглядит трехмерной (что, как обычно, мы схематически представляем на печатной странице в виде двумерной сетки). Однако, когда мы опустимся до планковского масштаба, высшего уровня увеличения на рисунке, Кляйн внушает, что становится видимым новое скрученное измерение.
На Рис. 12.7 мы проиллюстрировали это, дорисовав дополнительное циклическое измерение только в некоторых точках вдоль протяженных измерений (поскольку рисование кругов в каждой точке затемнит рисунок), и вы можете немедленно увидеть сходство с канатом на Рис. 12.6. В предложении Кляйна, следовательно, пространство должно представляться как имеющее три развернутых измерения (из которых мы показали на рисунке только два) с добавленным циклическим измерением, присоединенным к каждой точке. Отметим, что дополнительное измерение не есть выпуклость или петля внутри обычных трех пространственных измерений, как изобразительные ограничения рисунка могут заставить вас подумать. Вместо этого, дополнительное измерение есть новое измерение, полностью отличное от трех, нам известных, которое существует в каждой точке в нашем ординарном трехмерном пространстве, но столь мало, что ускользает от обнаружения даже самыми изощренными нашими инструментами.
С этой модификацией оригинальной идеи Калуцы Кляйн обеспечил ответ на то, как вселенная может иметь более, чем три пространственных измерения повседневного опыта, что дополнительное измерение остается скрытым; схема с тех пор стала известна как теория Калуцы-Кляйна. А поскольку дополнительное измерение пространства было все, что Калуце требовалось, чтобы соединить ОТО и электромагнетизм, теория Калуцы-Кляйна может показаться именно тем, что искал Эйнштейн. В самом деле, Эйнштейн и многие другие стали совершенно одержимы унификацией через новое, скрытое пространственное измерение и был предприняты решительные усилия, чтобы увидеть, будет ли этот подход работать в полных деталях. Но незадолго до этого теория Калуцы-Кляйна столкнулась со своими собственными проблемами. Вероятно, самая яркая из всех заключалась в том, что попытки включить электрон в картину с дополнительным измерением продемонстрировали свою неприменимость.[17] Эйнштейн продолжил барахтаться в схеме Калуцы-Кляйна, по меньшей мере, до начала 1940х, но начальные перспективы подхода так и не материализовались, и интерес постепенно вымер.
Однако, через несколько десятилетий теория Калуцы-Кляйна совершила впечатляющее возвращение.
Теория струн и скрытые размерности
В добавление к трудностям, с которыми теория Калуцы-Кляйна столкнулась при попытке описать микромир, была и другая причина для ученых сомневаться в этом подходе. Многие находили как произвольным, так и экстравагантным постулировать скрытую пространственную размерность. Это не то, как
