Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

Базельская задача[35] названа в честь швейцарского города, в университете которого профессорами математики один за другим были двое братьев Бернулли — Якоб (с 1687 по 1705 год) и Иоганн (с 1705 по 1748 год). Мы упоминали в главе 1.iii, что оба брата Бернулли нашли доказательства расходимости гармонического ряда. В книге, где он опубликовал сначала доказательство брата, а потом и свое, Якоб Бернулли сформулировал приведенную выше задачу и обратился ко всем, кто знает, как с ней разобраться, с просьбой сообщить ему ответ. (Я очень скоро объясню, что значит «выразить в замкнутом виде».)

Заметим, что ряд, фигурирующий в этой задаче, — будем называть его «базельским рядом» — не слишком далек от гармонического ряда. Каждый член в нем, собственно говоря, равен квадрату соответствующего члена в гармоническом ряде. А возведение в квадрат числа, меньшего единицы, дает число еще меньшее: квадрат одной второй уменьшает ее до одной четвертой. И чем меньшее число возводится в квадрат, тем сильнее выражен этот эффект: одна четвертая лишь немного меньше одной второй, но квадрат одной десятой дает одну сотую, которая намного меньше, чем одна десятая.

Каждый член в базельском ряду, таким образом, меньше соответствующего члена в гармоническом ряду, и по мере продвижения вперед они делаются все меньше и меньше. Поскольку гармонический ряд лишь «едва-едва» расходится, вполне реальны надежды на то, что базельский ряд, составленный из меньших и даже много меньших величин, сойдется. Вычисление подсказывает, что на самом деле так и есть. Сумма первых десяти членов равна 1,5497677…, сумма ста членов составляет 1,6349839…, тысячи — 1,6439345…, а десяти тысяч — 1,6448340…. Действительно, впечатление такое, что ряд сходится к какому-то числу в окрестности 1,644 или 1,645. Но к какому?

В подобных ситуациях математиков не устраивает просто найти приближение, особенно когда рассматриваемый ряд сходится медленно, как в данном случае. (Сумма 10 000 членов все еще на 0,006 процента отличается от значения полной, бесконечной суммы, которая равна 1,6449340668….) Выражается ли ответ дробным числом, скажем, ⁹¹⁰⁸/₅₅₃₇ или ^{560 837 199}/_{340 948 133}? Или он имеет более сложный вид, может быть, в него входят корни, например, v⁴⁶/₁₇, или же корень пятой степени из ^11 983/₉₉₅, или же корень восемнадцатой степени из 7776[36]? Чему равен ответ? Неспециалист решил бы, что вполне достаточно знать это число с точностью до нескольких знаков после запятой. Но нет, математики желают знать его точно, если только это возможно. Не просто потому, что они одержимы навязчивой идеей, но и потому, что по опыту знают: получение точного ответа нередко открывает ранее запертые двери и проливает свет на более глубокие математические вопросы. Математический профессиональный термин для такого точного представления — это «замкнутый вид». А десятичное приближение, неважно, насколько точное, — «незамкнутый вид». Число 1,6449340668… — это незамкнутый вид. Сами видите, что многоточие сообщает нам, что правая часть не завершена и при желании можно проделать вычисление, чтобы добавить туда еще цифры.

Базельская задача была поставлена так: найти замкнутый вид ряда из обратных квадратов. Задача была в конце концов побеждена в 1735 году, через 46 лет после своей постановки, и сделал это молодой Леонард Эйлер, трудившийся в далеком Санкт-Петербурге. Потрясающий ответ имеет вид ?²/6. Да, это «то самое» ?, магическое число, равное 3,14159265…, — отношение длины окружности к ее диаметру. Что же оно делает в задаче, которая не имеет ни малейшего отношения не только к окружностям, но и вообще к геометрии?! Современных математиков это не так уж изумляет, они привыкли, что ? можно встретить в математике где угодно, но в 1735 году этот ответ произвел сильное впечатление.

Базельская задача подводит нас к дзета-функции — объекту, с которым мы имеем дело в Гипотезе Римана. Но прежде чем мы сможем познакомиться с дзета-функцией, надо вспомнить кое-что из математических основ: степени, корни и логарифмы.

II.

Степени — это прежде всего повторяющееся умножение. Число 12³ — это 12?12?12, где перемножаются три сомножителя, а 12⁵ — это 12?12?12?12?12, где сомножителей пять. Что получится, если умножить 12³ на 12⁵? Это будет (12?12?12)? (12?12?12?12?12), что, конечно, составляет 12⁸. Надо просто сложить степени: 3 + 5 = 8. В этом и состоит первое великое правило действий со степенями.

1-е правило действий со степенями:

x^m?xⁿ = x^{m + n}.

(Давайте я здесь прямо и скажу, что во всем этом разделе мы будем иметь дело только с положительными значениями буквы x. Возводить в степень нуль — пустая трата времени, а возведение в степень отрицательных чисел приводит к занятным проблемам, о которых мы поговорим позднее.)

Что будет, если разделить 12⁵ на 12³? То есть вычислить (12?12?12?12?12)/(12?12?12). Можно сократить три множителя 12 сверху и снизу, и в результате останется 12?12, т.е. 12². Как видно, это все равно что вычесть степени.

2-е правило действий со степенями:

x^m: xⁿ = x^{m ? n}.

А теперь возведем 12⁵ в куб: (12?12?12?12?12)?(12?12?12?12?12)? (12?12?12?12?12) дает 12¹⁵. На этот раз степени перемножаются.

3-е правило действий со степенями:

(xⁿ)^m = x^mn.

Таковы три самых важных правила, которые говорят нам, как обращаться со степенями. В дальнейшем мы будем ссылаться на них как на «правила действий со степенями» без дополнительных объяснений. Однако это пока не все правила. Нам потребуется еще несколько, потому что до сих пор у нас были степени, выражаемые положительными целыми числами. А как обстоит дело с отрицательными и дробными степенями? А со степенью нуль?

Начав с последнего, заметим, что если x⁰ вообще что-нибудь будет означать, то хорошо бы добиться согласованности с теми правилами, которые у нас уже есть, потому что они являются прямым выражением здравого смысла. Возьмем во 2-м правиле n равным m. Тогда в правой части, как видно, получится x⁰. А в левой части будет x^m: x^m. Но когда число делится само на себя, получается единица.

4- e правило действий со степенями:

x⁰ = 1 для всякого положительного числа x.

2-е правило можно использовать и для того, чтобы придать смысл отрицательным степеням. Разделим 12³ на 12⁵. Согласно 2-му правилу, ответ должен быть равен 12^?2. Но при этом он равен и (12?12?12)/(12?12?12?12?12), что после сокращения трех множителей 12 в числителе и знаменателе даст 1/12².

5-е правило действий со степенями: